Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ primitive Funktionen

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Motivation

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien $(W,S),(V,T)$ Messräume. Wir definierten eine Abbildung $X:W\to V$ als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra $T$ auf Mengen der Sigma-Algebra $S$ abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Jetzt zeigen wir, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen $f:(W,S)\to (\overline{ℝ},\overline{𝔹})$ als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. Ganz entscheidend dafür ist die Voraussetzung der Messbarkeit.

Noch einmal die Indikatorfunktion

Unsere einfachste primitive Funktion ist die Indikatorfunktion $1_A$, die auf einem $A\in S$ den Wert $1$ annimmt und auf $A^C$ den Wert Null.

Im Bild die Indikatorfunktion zu $A=(0,5,1]\cup (2,4]\cup (4,5,5]$.

Die primitiven Funktionen P

Aus den Indikatorfunktionen konstruieren wir bei disjunkten $A_i$ durch Addition und Multiplikation mit Konstanten unsere primitiven Funktionen. Vorlage:Todo Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition

Eigenschaften primitiver Funktionen

Die primitiven Funktionen sind der Ersatz für die Treppenfunktionen beim Riemannintegral. Beachte, dass die primitiven Funktionen immer nicht-negativ sind.

Die nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen P*

Da wir gleich zeigen, dass sich nicht-negative Funktionen als Grenzwert monoton steigender Folgen primitiver Funktionen $u_n\in P$ darstellen lassen, definieren wir Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition

P* ist der Grenzwert primitiver Funktionen!

Nun zeigen wir die Gleichheit nicht-negativer Funktionen und der Grenzwerte monoton steigender primitiven Funktionenfolgen. Beachte, dass wir bei der Konstruktion den Wertebereich zerlegen, nicht den Definitionsbereich. Das ganze funktioniert nur, weil wir durch die Voraussetzung der Messbarkeit uns Ausschnitte aus dem Wertebereich beliebig auswählen können und mit der Umkehrabbildung zurückblicken können, welche Elemente aus dem Ursprungsraum dorthin abgebildet wurden. Hilfreich ist, dass die Sigma-Algebra, aus der wir im Bildbereich auswählen, sehr groß ist. Ohne die Messbarkeitsbedingung wäre die ganze Idee der Zerlegung im Wertebereich zum Scheitern verurteilt. Vorlage:Todo Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Eigenschaften von Funktionen aus P*

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