Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Sigma-Algebren

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In der Maßtheorie wollen wir Mengen eine Länge, eine Fläche oder ein Volumen zuordnen. Unser Ziel ist, später die "guten" Mengen durch abzählbar viele Intervalle, Rechtecke oder Quader "minimal" zu überdecken und damit die Länge, die Fläche oder das Volumen der "guten" Menge zu bestimmen.

Wir hatten in den letzten Kapiteln die endlichen disjunkten Vereinigungen der Rechtecke betrachtet: diese bilden einen Ring (mit $A,B\in R$ sind auch $\mathrm{\varnothing },A\cup B,A\mathrm{\setminus }B\in R$). Ihnen konnten wir eindeutig eine Fläche zuordnen. Wenn ihre abzählbare Vereinigung wieder die Form einer endlichen disjunkten Vereinigung von Rechtecken hat und ihre Fläche die abzählbare Summe der Einzelflächen ist, in mathematischer Schreibweise

dann nannten wir die Mengenfunktion sigma-additiv. Wir haben gezeigt, dass die Sigma-Additivität (fast) gleich bedeutend ist zur Stetigkeit von oben oder von unten der Flächenfunktion.

Jetzt endlich definieren wir die Mengensysteme der "guten" Mengen, denen die Flächenfunktion eindeutig ein Fläche zuordnen kann: Sigma-Algebren. Jene Mengen, die sich durch abzählbar viele Intervalle oder Rechtecke "gut" und "minimal" überdecken lassen.

Wenn wir "gute" Mengen $A_n$ gegeben haben, denen wir ein Volumen zuordnen können, so soll ihre höchstens abzählbare Vereinigung $\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n$ wieder eine "gute" Menge sein und auch ihr Komplement $A_n^C$ soll eine "gute" Menge sein. Die Grundmenge soll immer eine "gute" Menge sein. Diese Forderungen erscheinen selbstverständlich, dennoch sind Sigma-Algebren vielfältig, was wir uns in mehreren Übungsaufgaben bewusst machen wollen.

Im Folgenden definieren wir uns die von einem beliebigen Mengensystem $E$ erzeugte Sigma-Algebra. Insbesondere die von den Intervallen oder Rechtecken erzeugte Sigma-Algebra. Das ist entscheidend, da Sigma-Algebren nicht anschaulich sind. Man führt deshalb Beweise auf dem sehr anschaulichen Erzeugendensystem und zeigt, dass die Eigenschaft eine Sigma-Algebra erfüllt. Damit gilt die Eigenschaft für die vom Erzeugendensystem erzeugte Sigma-Algebra. Das benötigen wir insbesondere, um die Messbarkeit von Funktionen nachzuprüfen, aber auch für viele nachfolgende Übungsaufgaben (siehe unten).

Die sigma-additive Flächenfunktion $l$ lässt sich später eindeutig auf die von dem Ring der endlichen vielen disjunkten Rechtecke erzeugte Sigma-Algebra fortsetzen. Deshalb benötigen wir die erzeugte Sigma-Algebra.

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Wir suchen gleich eine kleinste Sigma-Algebra. Dafür benötigen wir folgenden Satz.

Als Erzeugendensystem $E$ wählen wir später unseren Ring $R$ und betrachten $S(R)$.

Bei der Stetigkeit hatten wir gesehen, dass stetige Funktionen offenen Mengen im Bild offene Mengen im Urbild zuordnen. Offene Mengen sind die Mengen einer Topologie. Erfreulicherweise ist es egal, ob wir als Erzeugendensystem der Sigma-Algebra über ${ℝ}^p$ die offenen Mengen oder die Intervalle wählen: es kommt dasselbe heraus, obwohl die Begriffsbildung völlig unterschiedlich ist. Das ist uns einen längeren Beweis wert.

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