Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Quader- und Rechtecksfiguren

Wiederholung

Um den Inhalt einer Fläche zu bestimmen, können wir diese von innen und von außen mit Rechtecken ausschöpfen bzw. überdecken:

• 
  Ausschöpfung eines Kreises mit Rechtecken
• 
  Überdeckung eines Kreises mit Rechtecken

Der Flächeninhalt jeder Ausschöpfung und Überdeckung ergibt sich aus den Flächeninhalten der jeweiligen Quaderfiguren. Dabei ist jede Ausschöpfung eine Abschätzung des tatsächlichen Flächeninhalts nach unten und jede Überdeckung eine Abschätzung nach oben. Kommt im Grenzwert bei der Ausschöpfung und der Überdeckung dasselbe heraus, so nennen wir diesen Grenzwert den Flächeninhalt.

In diesem Kapitel müssen wir die Eigenschaften der Quaderfiguren genauer betrachten, um den Jordan-Inhalt definieren zu können.

Inhaltsfunktion

Naheliegend ist, dass sie einer Quaderfigur (siehe das Bild)

durch Überlappung verringert sich das Volumen

die Summe der Flächen der Einzelquader zuordnet. Unsere Hoffnung ist, dass die Funktion wieder additiv wird, das ist ja die Zieleigenschaft für den Peano-Jordan-Inhalt..

Differenz von Quaderfiguren ist eine Quaderfigur

Wir wollen Quaderfiguren vereinigen. Ggf. überschneiden sich dann die Figuren. Wir wollen die Vereinigung darstellen als disjunkte Vereinigung, weil nur für disjunkte Vereinigungen unser Inhalt additiv ist. Dafür benötigen wir die Differenz.

Vereinigung zweier Quaderfiguren ist eine Quaderfigur

Wir müssen die Vereinigung zweier Quaderfiguren darstellen als disjunkte Vereinigung von Quadern, dazu benötigen wir den letzten Satz über die Differenz von Quaderfiguren. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Folgerungen für den Inhaltsbegriff

Vorlage:Todo Aus diesen Erkenntnissen können wir Eigenschaften unserer Inhaltsfunktion auf Quaderfiguren folgern, welche sich mit unserem intuitiven Begriff eines Inhalts decken:

• Der Inhalt ist monoton: Ist eine Menge A Teilmenge einer anderen Menge B, so muss der Inhalt von A kleiner oder gleich dem Inhalt von B sein.

A als Teilmenge von B

• Der Inhalt ist subadditiv: Bei Überschneidung von zwei Flächen A und B ist die Gesamtfläche kleiner als die Summe der Einzelflächen.

Der Schnitt von zwei Rechtecken

Monotonie des Inhaltes auf Quaderfiguren

Jetzt können wir ganz einfach die Monotonie des Inhaltes auf den Quaderfiuguren beweisen.

Subadditivität des Inhalts auf Quaderfiguren

Wir wollen erreichen, dass unser Peano-Jordan-Inhalt additiv wird. Dafür benötigen wir folgende Ungleichung. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}

Ausblick

Sowohl die endliche Differenz von Quaderfiguren als auch ihre endliche Vereinigung sind wiederum Quaderfiguren. In einem späteren Abschnitt werden wir sehen, dass das Mengensystem der Quaderfiguren einen Ring bildet.