Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Messbare Abbildungen

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Motivation

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Dies verwenden wir, um nun zu untersuchen, wann eine Abbildung zwischen zwei Sigma-Algebren vermittelt.

Seien im Folgenden $W,V$ Grundmengen und $S,T$ Sigma-Algebren mit $S\subset Pot(W),T\subset Pot(V)$. Wir definieren eine Abbildung $X:W\to V$ als "gut", wir sagen auch "messbar", wenn sie "gute" Mengen aus der Sigma-Algebra $T$ auf "gute" Mengen der Sigma-Algebra $S$ abbildet. Was sie mit den "schlechten" Mengen macht, interessiert uns dabei nicht.

Definition der Messbarkeit

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition Vorlage:Todo Die Messbarkeit ist also abhängig von der Funktion $X$ und von der Größe der Sigma-Algebren. Das wollen wir uns an einigen Beispielen klarmachen. Die Messbarkeitsbedingung sieht harmlos aus, macht den Studierenden aber deutliche Schwierigkeiten. Wir haben deshalb in den nächsten drei Kapiteln bewusst mehrere Aufgaben aufgenommen, um sich an den Begriff zu gewöhnen und raten dringend, diese durchzuarbeiten.

Aufgabe 3: Messbarkeit auf Abschnitten

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