Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Konstruktion messbarer Funktionen

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Motivation

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien $(W,S),(V,T)$ Messräume. Wir definierten eine Abbildung $X:W\to V$ als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra $T$ auf Mengen der Sigma-Algebra $S$ abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Jetzt konstruieren wir uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Vorlage:Todo

Vergleich von Funktionen und Messbarkeit

Wir wollen messbare Funktionen vergleichen und sicherstellen, dass die resultierende Menge wieder messbar ist. Das ist der Fall, wie der folgende Hilfssatz zeigt. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Konstruktion neuer numerischer Funktionen

Wie bei den stetigen Funktionen konstruieren wir aus messbaren Funktionen neue messbare Funktionen.

Numerische Funktionen als Grenzwerte

Folgende Grenzwerte von Funktionenfolgen sind ebenfalls messbar. Da das Supremum $\mathrm{\infty }$ und das Infimum $-\mathrm{\infty }$ werden kann, mussten wir in $\overline{ℝ}$ rechnen. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Aufgabe 2: Messbare Funktionen

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