Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Jordan-Inhalt

Formale Herleitung und wichtige Eigenschaften des w:Jordan-Maß

Der innere Inhalt ist kleiner als der äußere

Da der innere Inhalt berechnet wird über Quaderfiguren, die innerhalb $A$ liegen, und der äußere berechnet wird über Quaderfiguren, die $A$ überdecken, sollte der äußere Peano-Jordan-Inhalt immer größer sein als der innere. Und das ist auch der Fall: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Quaderfiguren sind messbar mit bekanntem Inhalt

Für Quaderfiguren erwarten wir, dass sie messbar sind der Inhalt aus dem letzten Kapitel denselben Wert annimmt wie der Peano-Jordan-Inhalt. Das müssen wir dennoch kurz beweisen. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Sub-/Superadditivität von äußerem/innerem Inhalt

Wir wollen im übernächsten Satz die Additivität des Peano-Jordan-Inhaltes zeigen und benötigen dazu folgende zwei Ungleichungen . Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Der Peano-Jordan-Inhalt ist additiv

Nun kommen wir zur entscheidenden Eigenschaft des Peano-Jordan-Imhaltes. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Eigenschaften des Jordanmaßes

Zeige: Positivität und Monotonie von innerem und äußerem Jordan- Inhalt

Zeige: Nullmengen des äußeren Maßes sind Jordan-messbar.

Zeige: $m_{\ast }(A)=m(B)-m^{\ast }(B\mathrm{\setminus }A)$ für beschränkte Jordan-messbare $B$ und beliebige (!) $A\subset B$ Zeige : Sind $A,B$ beschränkt und Jordan messbar, so auch $A\cap B$ und $B\mathrm{\setminus }A$

Zeige: Sei $D$ beschränkt und Jordan messbar. Dann ist die Klasse der Jordan-messbaren Teilmengen von $D$ eine Algebra

Topologie: $m^{\ast }(A)=m^{\ast }(\bar{A})$ und $m_{\ast }(A)=m_{\ast }(A^{\circ })$ etc...

Zeige $\mathbb{Q}\cap [0,1]$ ist nicht Jordan-messbar.

Zeige die Menge $(0,1]\times (0,1]\uplus (0,1]\times (0,1/2]\uplus (0,1]\times (0,1/4]\uplus ...$ ist nicht Jordan-messbar, obwohl anschaulich der Flächeninhalt $2$ sein müsste.

Daher erweitern wir unsere Definition auf abzählbare Überdeckungen zum Lebesguemaß

Literatur

• Eigenschaften: http://www.jkrieger.de/mathe/analysis/node66.html
• Zusammenfassung: https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Jordan_measure
• Skript, welches mit Jordan-Maß beginnt: https://www.alt.mathematik.uni-mainz.de/Members/froehli/skripte/ws2011/kapitel04.pdf