Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Integrierbare Funktionen

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Motivation

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien $(W,S),(V,T)$ Messräume. Wir definierten eine Abbildung $X:W\to V$ als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra $T$ auf Mengen der Sigma-Algebra $S$ abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Wir zeigten, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen $f:(W,S)\to (\overline{ℝ},\overline{𝔹})$ als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. Damit konnten wir das Integral einer nicht-negativen numerischen Funktion definieren als Grenzwert von Integralen primitiver Funktion. Wir bewiesen den Satz übr monotone Konvergenz: Ist die Folge der nicht-negativen, messbaren numerischen Funktionen $f_n\in P^{\ast }$ monoton steigend, so lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen.

Da wir das Integral nur für positive Funktionen eingeführt haben, zerlegen wir eine beliebige messbare Funktion $f$ in den Positivteil $f^{+}$ und den Negativteil $f^{-}$, sodass gilt $f=f^{+}-f^{-}$. Für beide Teile steht uns nun der Integralbegriff zur Verfügung. Als Integral von $f$ definieren wir dann einfach die Differenz aus dem Integral des Positivteiles und des Negativteiles $\int f^{+}-\int f^{-}$. Genau wie beim Riemannintegral bewerten wir den Negativteil der Funktion als negativen Beitrag zum Integral. Wir rechnen nach, dass dieses Integral linear und monoton ist.

Gleichwertige Bedingungen für Integrierbarkeit

Es gibt zwei hilfreiche äquivalente Bedingungen dafür, dass $f$ integrierbar ist. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Linearität des Maßintegrales

Die integrierbaren Funktionen bilden einen Vektorraum und das Integral ist eine lineare Abbildung auf diesem Vektorraum. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Aufgabe 3: Monotonie

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