Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Differentialformen

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Der Satz von Stokes sagt anschaulich, dass sich der Wert einer Größe innerhalb der Mannigfaltigkeit genau um so viel ändert, wie Anteile der Größe über den Rand hinausströmen. Wir integrieren also die Änderung über eine $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit und den Fluß über eine $n-1$-dimensionale Mannigfaltigkeit. Dazu betrachten wir Volumenfunktionen: die $k$-Form IN JEDEM PUNKT und integrieren diese. Die Volumenfunktion lebt auf einem Vektorraum, dazu verwenden wir den Tangentialraum, z.B. auf dem Standard-Beispiel einer Kugeloberfläche. Der Tangentialraum ist dabei in jedem Punkt ein anderer.

Wir werden sehen, dass sich über die Determinante aus linearen Abbildungen alle alternierende $k$-Formen (sprich $k$-dimensionale Volumenfunktionen) konstruieren lassen; zudem läßt sich aus zwei alternierenden Formen wieder eine neue alternierende $k$-Form konstruieren über das Dachprodukt. Die alternierenden $k$-Formen lassen sich auch von einem Tangentialraum in den nächsten transportieren mit einer differenzierbaren Funktion $f$, wobei automatisch über Anwendung von $df$ berücksichtigt wird, dass sich das Volumen unter Anwendung von $f$ ändert.

Insbesondere benötigen wir für den Satz von Stokes die Inklusionsabbildung $i:{ℝ}^{n-1}\to {ℝ}^n$, die einfach den ${ℝ}^{n-1}$ in den ${ℝ}^n$ abbildet und die erste Komponente dazu Null belässt.

Mit den $d{x}_i$ passt man die linearen $f:{ℝ}^n\to ℝ$ an die gewählte Basis $e_i$ an. Wir hatten in der Maßtheorie (verallgemeinerte) Volumina von Quadern im ${ℝ}^n$ betrachtet, da waren die Vektoren automatisch linear unabhängig, das ist nicht selbstverständlich, und unsere Volumenfunktion soll das bemerken: im ${ℝ}^n$ sollen $n$ linear abhängige Vektoren automatisch ein Volumen der Größe Null aufspannen. Es reicht in der Definition zu fordern: Die Volumenfunktion wird Null, wenn zwei Vektoren gleich sind. Diese Eigenschaft nennen wir alternierend.

In der Differentialgeometrie haben wir zwei Orientierungen einer Basis kennengelernt. Diese wollen wir berücksichtigen, indem ein Volumen ein Vorzeichen bekommt. Beide Forderungen erfüllt genau die Determinante der linearen Algebra.

Das äußere Produkt von k-Formen Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition

Jetzt berechnen wir einige Eigenschaftenh des Dachproduktes.

Zurückziehen von k-Formen

Durch das Vorschalten einer differenzierbaren Abbildung erhält man eine neue k-Form.

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