Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Die Maßfortsetzung

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In der Maßtheorie wollen wir Mengen eine Länge, eine Fläche oder ein Volumen zuordnen. Unser Ziel ist, später die "guten" Mengen durch abzählbar viele Intervalle, Rechtecke oder Quader "minimal" zu überdecken und damit die Länge, die Fläche oder das Volumen der "guten" Menge zu bestimmen.

Wir hatten in den letzten Kapiteln die endlichen disjunkten Vereinigungen der Rechtecke betrachtet: diese bilden einen Ring (mit $A,B\in R$ sind auch $\mathrm{\varnothing },A\cup B,A\mathrm{\setminus }B\in R$). Ihnen konnten wir eindeutig eine Fläche zuordnen. Wenn ihre abzählbare Vereinigung wieder die Form einer endlichen disjunkten Vereinigung von Rechtecken hat und ihre Fläche die abzählbare Summe der Einzelflächen ist, in mathematischer Schreibweise

dann nannten wir die Mengenfunktion sigma-additiv. Wir haben gezeigt, dass die Sigma-Additivität (fast) gleich bedeutend ist zur Stetigkeit von oben oder von unten der Flächenfunktion.

Wir haben uns das System der "guten" Mengen definiert als Sigma-Algebra (dort gilt mit $A_n\in S$ sind auch $\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n,A_n^C,\mathrm{\varnothing }\in S$) und sigma-additive Maße darauf betrachtet.

Als Beweis-Technisches Hilfsmittel haben wir die Dynkinsysteme eingeführt. Dort gilt mit $A_n\in D$ sind auch $\underset{n\in \mathbb{N}}{⨄}{A}_n,A_n^C,\mathrm{\varnothing }\in D$.

Wir geben uns nun eine sigma-additive, nicht-negative Abbildung von einem RING $F^p$ nach $[0,\mathrm{\infty }]$ vor. Eine mögliche solche haben wir im ersten und zweiten Kapitel schon konstruiert.

Jetzt suchen wir die Fortsetzung auf die von dem Ring erzeugte Sigma-Algebra $S(F^p)$. Dazu konstruieren wir uns ein äußeres Maß auf allen Teilmengen von ${ℝ}^p$ als minimale Überdeckung mit abzählbar vielen Elementen aus dem Ring.

Je feiner wir dabei die überdeckenden Rechtecke wählen und je weniger sich die überdeckenden Mengen überschneiden, umso besser wird die Näherung sein, wie man an folgenden Überdeckungen eines Fünfecks sieht.

• 
  Grobe Überdeckung des Fünfecks mit Rechtecken
• 
  Feine Überdeckung des Fünfecks mit Rechtecken

Erstaunlicherweise wird dieses äußere Maß zu einem Maß auf den Teilmengen, die alle Teilmengen von ${ℝ}^p$ bzgl dem äußeren Maß additiv aufteilen, diese Teilmengen bilden sogar eine Sigma-Algebra $S^{\ast }$.

Wir rechnen nun nach, dass die Elemente des Ringes $F^p$ in dieser Sigma-Algebra $S^{\ast }$ enthalten sind, damit ist die erzeugte Sigma-Algebra $S(F^p)$ ebenfalls in $S^{\ast }$ enthalten und das äußere Maß dort ein Maß.

Wir überprüfen als Letztes, dass das äußere Maß auf dem Ring $F^p$ denselben Wert annimmt wie die sigma-additive Funktion auf dem Ring, mit der wir gestartet sind - damit ist die Maßfortsetzung gefunden.

Die Eindeutigkeit lässt sich beweisen, wenn sich der Raum mit abzählbar vielen Mengen endlichen Maßes ausschöpfen lässt, was bei ${ℝ}^p$ der Fall ist. Damit ist das angekündigte eindeutige Lebesguemaß gefunden und dieses lebt sogar auf einer größeren Sigma-Algebra als $S(F^p)$.

Am Ende betrachten wir noch Nullmengen: die Vervollständigung eines Maßes und seiner Sigma-Algebra und zeigen, dass es überabzählbare Nullmengen bzgl. dem Lebesguemaß gibt.

Zusammenfassung: Versuchen Sie nicht, die Beweise diese Kapitels auswendig zu lernen, das ist zu viel: Abgefragt wird i.A. die Definition des äußeren Maßes und seine drei Eigenschaften, evtl. die Definition von $S^{\ast }$, definitiv die Aussage des Existenz- und Eindeutigkeitssatzes und unter Umständen die Idee der Vervollständigung eines Maßes. Mehr nicht. Aber Interessierte können die Beweise einmal nachvollziehen.

Existenz der Maßfortsetzung

Auf einem Ring $R$ definieren wir eine additive Funktion intuitiv und beweisen dann die Sigma-Additvität. Ziel ist nun die Fortsetzung zu einem Maß auf die von $R$ erzeugte Sigma-Algebra $S(R)$.

Jetzt müssen wir eine Sigma-Algebra $S^{\ast }$ konstruieren auf der $m^{\ast }$ sigma-additiv ist. Dabei müssen wir $m^{\ast }$ und $S^{\ast }$ aufeinander abstimmen:

$m^{\ast }$ soll mindestens additiv werden für Elemente aus $S^{\ast }$. Eine Forderung wäre z.B. "Betrachte für $S^{\ast }$ nur Elemente $A,B$ aus $W$, für die gilt"

Das ist fast richtig. Wir wollen noch das Komplement einbringen. Damit mit $A$ auch das Komplement von $A$ in $S^{\ast }$ ist, muss die Beziehung symmetrisch in $A$ und $A^C$ sein. Dazu verwenden wir, dass sich jede beliebige Menge $Q\in W$ disjunkt aufteilen lässt gemäß

Wegen $(A^C{)}^C=A$ ist die Forderung symmetrisch in $A$ und $A^C$

Jetzt haben wir disjunkte Mengen und lassen die geforderte Additivität von $m^{\ast }$ einfließen, indem wir Elemente in $S^{\ast }$ zulassen, für die für alle $Q\in W$gilt:

Das ist schon alles. Wir rechnen gleich nach; Die Mengen $A$, die bezüglich $m^{\ast }$ alle anderen Mengen $Q\subset W$ additiv aufteilen, bilden eine Sigma-Algebra. Allein die Wahl von $S^{\ast }$ und die Konstruktion von $m^{\ast }$ bedingt das, es geht nur $\mathrm{\varnothing }\in R,m(\mathrm{\varnothing })=0$ und $m(A_n)\ge 0$ ein in den Beweis. Der Ring und die Additivität spielen noch keine Rolle.

Die passende Sigma-Algebra haben wir gefunden, denn

Wie groß ist nun die konstruierte Sigma-Algebra $S^{\ast }$? Zum Glück groß genug, dass es die von $R$ erzeugte Sigma-Algebra enthält!

Bis hier haben wir die Ringeigenschaft und die Additivität von $m$ nicht benötigt: es floss nur ein $\mathrm{\varnothing }\in R;m(\mathrm{\varnothing })=0$ und $m(A_n)\ge 0$ für alle $A_n\in R$.

Nun gehen die Ringeigenschaften und die endliche Additivität von $m$ ein in den Beweis. Die Sigma-Additivität wird nicht benutzt.

Auf $S^{\ast }$ haben wir ein Maß $m^{\ast }$ gefunden. Wir zeigen nun, dass es immer noch auf $R$ mit unserem sigma-additiven $m$ übereinstimmt, d.h. $m^{\ast }$ ist die Fortsetzung auf $S(R)\subset S^{\ast }$.

Erst bei diesem Beweis geht die Sigma-Additivität von m ein.

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz Eindeutigkeit der Fortsetzung

Die Existenz einer Maßfortsetzung haben wir nun gezeigt. Nun stellt sich die Frage nach der Eindeutigkeit. Wenn es eine monoton steigende Folge von Mengen der Sigma-Algebra endlichen Maßes gibt, deren abzählbare Vereinigung die ganze Grundmenge $W$ ist - wir nennen diese Eigenschaft sigma-endlich -, lässt sich die Eindeutigkeit zeigen.

Schneidet man alle zu betrachtenden Mengen mit einer festen Menge endlichen Maßes, erhält man ein neues Maß, das endlich ist.

Jetzt können wir schon den Eindeutigkeitssatz beweisen.

Es folgt in einem ganz kurzen Beweis die Eindeutigkeit unseres Lebesguemaßes auf der Vervollständigung von der Borelschen Sigma-Algebra.

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