Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Der Satz von Stokes

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}} Wir setzen den Umkehrsatz aus der Analysis II und die regulären Flächen, Tangentialvektoren, Tangentialräume, Normalenvektoren und die Orientierbarkeit aus der Differentialgeometrie voraus. Die Verallgemeinerung der regulären Flächen sind Mannigfaltigkeiten mit Rand. Der Rand einer solchen Mannigfaltigkeit ist zum Glück wieder eine Mannigfaltigkeit mit um Eins reduzierter Dimension.

Wir zeigen dann, dass es eine unendlich oft differenzierbare Zerlegung der Eins gibt durch Funktionen, die nur auf Kartengebieten definiert sind. Damit können wir eine kompakte Mannigfaltigkeit durch endlich viele Karten überdecken.

Mit der Transformationsformel der Maßtheorie können wir beweisen, dass das Integral einer Funktion definiert ist: schließlich ist der Definitionsbereich nur bis auf Kartenwechsel definiert und die Transformationsformel berücksichtigt genau die Änderung durch den Kartenwechsel.

Der Satz von Stokes sagt dann anschaulich, dass sich der Wert einer Größe innerhalb der Mannigfaltigkeit genau um so viel ändert, wie Anteile der Größe über den Rand hinausströmen. In der Anwendung werden wir i.A. eine Volumenfunktion über die Kugel integrieren und ihre Ableitung über den Rand der Kugel integrieren.

Mannigfaltigkeiten mit Rand

Wir verallgemeinern die regulären Flächen zu Mannigfaltigkeiten mit Rand

Differenzierbare Zerlegung der Eins

Die Mannigfaltigkeit kann im Allgemeinen nicht durch eine Parametrisierung überdeckt werden. Die konstante Funktion mit Wert $1$ ist immer nur auf einem Kartengebiet definiert. Das ist unpraktisch. Wir zerlegen jetzt diese Einsfunktion in Funktionen, die nur auf den $F_i(U_i)$ ungleich Null sind und gemeinsam addiert über alle Kartengebiete genau eins ergeben. Dann können wir Beweise auf den Kartengebieten führen und im letzten Schritt mit der Zerlegung der Eins auf die ganze Mannigfaltigkeit ausdehnen. Das ist uns einige Vorarbeit wert.

Das war die Buckelfunktion im ${ℝ}^1$. Jetzt bauen wir daraus eine Plateau-Funktion um den Nullpunkt im ${ℝ}^n$. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz Nach diesen Vorarbeiten kommen wir zur Zerlegung der Einsfunktion auf kompakten Mannigfaltigkeiten. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Das Integral einer n-Form

Das definieren wir einfach als das Integral über den Koeffizienten der n-Form. Dazu müssen wir zeigen, dass es unabhängig von der Kartenwahl ist. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweis Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beweis Der Satz von Stokes Wir benötigen Hilfsaussage, dass der Abstand zwischen einer kompakten Menge und einer abgeschlossenen Menge, die sich nicht schneiden, echt größer Null ist

Jetzt wollen wir die Versionen des Satz von Stokes für zwei und drei-dimensionale Mannigfaltigkeiten beweisen, wie sie in der Anwendung, insbesondere der Physik und den partiellen Differentialgleichungen verwendet werden.

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