Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Der Raum L¹

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Motivation

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien $(W,S),(V,T)$ Messräume. Wir definierten eine Abbildung $X:W\to V$ als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra $T$ auf Mengen der Sigma-Algebra $S$ abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Wir zeigten, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen $f:(W,S)\to (\overline{ℝ},\overline{𝔹})$ als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. Damit konnten wir das Integral einer nicht-negativen numerischen Funktion definieren als Grenzwert von Integralen primitiver Funktion. Wir bewiesen den Satz übr monotone Konvergenz: Ist die Folge der nicht-negativen, messbaren numerischen Funktionen $f_n\in P^{\ast }$ monoton steigend, so lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Wir haben das Integral für numerische Funktionen eingeführt als Differenz des Integrals des Positivteiles und des Negativteiles und nachgerechnet, dass dieses Integral linear und monoton ist. Wir zeigten den Satz über majorisierte Konvergenz: Wenn es eine integrierbare Majorante gibt, lassen sich Grenzwert und Integral vertauschen. Die Funktionen, die $m$-fast sicher Null sind, bilden einen Vektorraum.

Wir wollen auf dem Vektorraum der integrierbaren Funktionen mit dem Integral eine Norm konstruieren, also einen Begriff, wann zwei Funktionen "nahe beieinander" sind. Wir hatten im letzten Kapitel gesehen, dass das Integral $m$-fast überall gleiche Funktionen nicht unterscheiden kann. Solche Funktionen müssen wir in eine gemeinsame Klasse packen und "gleich" bzw. äquivalent nennen, damit die Norm auch wirklich zwei verschiedene Funktionen unterscheiden kann. Praktisch ist dabei, dass die Funktionen, die m-fast überall Null sind, einen Vektorraum bilden was wir im letzten Kapitel gezeigt haben. Wir erhalten einen neuen normierten Vektorraum $L^1$ aus Klassen, bei denen wir zu einer Funktion f alle möglichen Funktionen addieren, die $m$-fast überall Null sind. Wir zeigen, dass dieser normierte Raum vollständig ist, d.h. jede Cauchyfolge hat einen Grenzwert. Als Letztes betrachten wir den Unterschied zwischen punktweiser Konvergenz und Konvergenz in L¹ und wann diese übereinstimmen.

$L^1$ ist ein normierter Vektorraum

Diese $L^1$-Norm sagt uns, wann zwei Funktionen nahe beieinander sind. Wir definieren den Grenzwert von Folgen bzgl. DIESER Norm wie üblich als

$L^1$ ist vollständig

Wir benötigen einen Hilfssatz, um die Vollständigkeit von $L^1$ zu zeigen (d.h. zu zeigen, dass jede Cauchyfolge einen Grenzwert hat).

Punktweise und $L^1$ Grenzwerte

Nun vergleichen wir die zwei Grenzwertbegriffe Konvergenz in $L^1$ und $m$-fast überall.

Ein Grenzwertsatz

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