Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Das Maß-Integral

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Motivation

In der Maßtheorie hatten wir den Begriff der Länge, Fläche und des Volumens geklärt: sie werden durch Maße auf Sigma-Algebren beschrieben. In der Integrationstheorie wollen wir auf der Basis der Maße einen Integralbegriff herleiten und dessen Eigenschaften untersuchen.

Wo stehen wir

Wir hatten nachgerechnet, dass die Umkehrabbildung mit Mengenoperationen vertauscht. Seien $(W,S),(V,T)$ Messräume. Wir definierten eine Abbildung $X:W\to V$ als "messbar", wenn sie alle Mengen aus der Sigma-Algebra $T$ auf Mengen der Sigma-Algebra $S$ abbildete. Es genügte, die Messbarkeit auf dem Erzeugendensystem zu testen. Wir konstruierten uns durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Grenzwertbildung von numerischen Funktionen neue numerische Funktionen. Wir zeigten, dass sich alle nicht-negativen messbaren numerischen Funktionen $f:(W,S)\to (\overline{ℝ},\overline{𝔹})$ als Grenzwert einer monoton steigenden Folge von primitiven Funktionen darstellen lassen. In diesem Kapitel definieren wir nun das Integral für primitive Funktionen und beweisen, dass zwei monoton wachsende Folgen in P mit demselben Grenzwert denselben Grenzwert der Integrale haben. Damit können wir für eine nicht-negative messbare numerische Funktion eindeutig das Integral definieren mit Hilfe der Integrale primitiver Funktionen. Das so definierte Integral ist wie das Riemann-Integral additiv, monoton und positive Skalare lassen sich mit dem Integral vertauschen.

Das Integral als Fläche unter der nicht-negativen Funktion

Sei im ganzen Kapitel $W$ eine Menge, $S\subset Pot(W)$ eine Sigma-Algebra und $m:S\to [0,\mathrm{\infty }]$ ein Maß.

Das Integral der Indikatorfunktion $1_A$ soll das Maß von $A$ sein. Das ist anschaulich die Fläche unterhalb der Funktion.

Im Bild die Indikatorfunktion zu $A=(0,5,1]\cup (2,4]\cup (4,5,5]$. Die Fläche ist 0,5+2+0,5=3.

Das Integral endlicher positiver Linearkombinationen $\sum _{i=1}^n{a}_i{1}_{A_i}\in P$, soll die endliche nicht-negative Linearkombination der Maße der $A_i$ sein. Das ist wie beim Riemann-Integral wieder die Fläche unter der Funktion.

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Ein Hilfsssatz zu Grenzwerten von Integralen

Wir wollen die Folgen der Integrale für zwei verschiedene Folgen $(u_n{)}_n,(v_n{)}_n$ in $P$ vergleichen. Dazu vergleichen wir erst einmal eine Folge $(u_n{)}_n$ mit einem festen anderen $u\in P$. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Das Integral nicht-negativer numerischer Funktionen

Damit können wir nun definieren: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition

Eigenschaften des Integrales

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