Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/ Aufgabensammlung

Hier werden verschiedene Übungsaufgaben gesammelt.

Mengensysteme

• Zeige, dass die folgenden beiden Charakterisierungen eines Dynkin-Systems $𝒟$ über der Grundmenge $\mathrm{\Omega }$ äquivalent sind:
  • $𝒟$ enthält $\mathrm{\Omega }$ und ist abgeschlossen unter abzählbaren Vereinigungen paarweise disjunkter Mengen und Differenzen von Mengen $A,B$ mit $A\subseteq B$
  • $𝒟$ enthält $\mathrm{\Omega }$ und ist abgeschlossen unter abzählbaren Vereinigungen paarweise disjunkter Mengen und Komplementbildung
• Zeige, dass die beiden Charakterisierungen einer $\sigma$-Algebra äquivalent sind
• zeige, dass Schnitte von $\sigma$-Algebren wieder eine $\sigma$-Algebra sind.
• Dieselbe Aufgabe für Dynkin-Systeme.
• Ist im Allgemeinen die Vereinigung von $\sigma$-Algebren wieder eine $\sigma$-Algebra?
• Sei $𝒞$ Mengensystem. Zeige, dass die von $𝒞$ erzeugte $\sigma$-Algebra $\sigma (𝒞)$ die kleinste $\sigma$-Algebra ist, die $𝒞$ enthält.
• Dieselbe Aufgabe für das erzeugte Dynkin-System $\delta (𝒞)$
• Eine $\sigma$-Algebra ist entweder endlich oder überabzählbar.
• Jede $\sigma$-Algebra ist ein Dynkin-System, aber nicht jedes Dynkin-System ist eine $\sigma$-Algebra.
• Zeige: $ℛ:=\{A\subseteq ℝ:A\text{ ist abzählbar oder }{A}^{\complement }\text{ ist abzählbar}\}$ ist eine $\sigma$-Algebra über $ℝ$.
• Nachrechnen, die Borel-$\sigma$-Algebra von verschiedenen Mengensystemen erzeugt wird (Halboffene Intervalle, abgeschlossene Intervalle, offene Intervalle, ...)
• Zeige, dass die Borel-$\sigma$-Algebra über $ℝ$ die folgenden Mengen enthält:
  • alle einelementigen Mengen
  • alle offenen, abgeschlossenen, kompakten Intervalle
  • alle rechts offenen Intervalle
  • ...
• Jeder Ring $ℛ$ mit $\mathrm{\Omega }\in ℛ$ ist eine Algebra.