Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Halbring, Intervalle und Rechtecke

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Motivation

In der Maßtheorie wollen wir Mengen ein Maß zuordnen. Bei Teilmengen aus $ℝ$ sind dies Längen, bei Teilmengen aus ${ℝ}^2$ Flächen, bei Teilmengen aus ${ℝ}^3$ Volumina und bei Teilmengen aus ${ℝ}^p$ mit $p\ge 4$ verallgemeinerte Volumina. Dabei ordnen wir nur gewissen „guten“ Mengen ein Maß zu: das sind jene Mengen die wir durch Intervalle oder Rechtecke oder Quader "gut" überdecken können. In diesem Kapitel betrachten wir daher gemeinsame Eigenschaften von Intervallen, Rechtecken und (verallgemeinerten) Quadern. Wir nennen diese gemeinsamen Eigenschaften dann Halbring.

Zur Übersicht der Maßheorie-Herleitung geht es hier Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Allgemeine_Konstruktion_eines_Maßes

Intervalle, Rechtecke, verallgemeinerte Quader

Wir wollten Intervalle, Rechtecke und (verallgememeinerte) Quader für die "minimale" Überdeckung einer "guten" Menge nutzen. Welche Variante verwenden wir dazu am Besten?

Als Intervall $(a,b]$ im ${ℝ}^1$ verwenden wir am Besten das linksseitig offene, rechtsseitig geschlossene Intervall (es ginge auch andersherum, man muss sich nur festlegen). Denn der Schnitt des Intervalles $(a,b]$ mit einem anderen Intervall $(c,d]$ ist $(\max (a,c),\min (b,d)]$ oder die leere Menge und ist damit wieder linksseitig offen und rechtsseitig abgeschlossen.

Schneidet man aus einem Intervall $(a,b]$ ein anderes $(c,d]$ heraus heraus, ist der Rest eine disjunkte Vereinigung von ein oder zwei wieder linksseitig offenen, rechtsseitig abgeschlossenen Intervallen $(a,\max (a,c)]$ und $(\min (b,d),b]$ bzw. die leere Menge.

Damit erhalten wir erneut dieselben mathematischen Objekte.

Würden wir abgeschlossene Intervalle $[a,b]$ oder offene Intervalle $(a,b)$ betrachten, hätten wir diese schöne Eigenschaft nicht: schneidet man aus einem Intervall [a,b] ein Intervall [c,d] heraus, so erhält man die leere Menge oder ein oder zwei der folgenden Intervalle $[a,\max (a,c))$ und $(\min (b,d),b]$. Diese sind nicht wieder abgeschlossen. Deshalb betrachten wir linksseitig offene, rechtsseitig abgeschlossene Intervalle.

Aus demselben Grund betrachten wir linksseitig offene und rechtsseitig abgeschlossene Rechtecke im $R^2$, d.h Mengen der Form $(a,b]\times (c,d]$.

Verallgemeinert im ${ℝ}^p$ betrachten wir $(a_1,b_1]\times \dots \times (a_p,b_p]$, wobei immer $a_i<b_i$ gelten soll.

Dabei führen wir gleich eine abkürzende Vektorschreibweise ein mit $a=(a_1,\dots ,a_p),b=(b_1,\dots ,b_p)$:

Eigenschaften von Intervallen, Rechtecken und (verallgemeinerten) Quadern

Das Besondere an Rechtecken ist, dass man bei Schnitt wieder ein Rechteck erhält, im Bild das violette Quadrat in der Mitte.

Dabei sind der obere und der rechte Rand mit einem schwarzen Balken markiert, umzu verdeutlichen, dass dieser Teil noch hinzugehört. Bei der Differenz $A\mathrm{\setminus }B$ erhalten wir eine disjunkte Vereinigung von Rechtecken, siehe die folgenden Bilder.

• 
  Ein Rechteck aus einem Rechteck herausgeschnitten ergibt 2 kleine disjunkte Rechtecke
• 
  Ein Rechteck aus einem Rechteck herausgeschnitten ergibt 3 kleine disjunkte Rechtecke
• 
  Ein Rechteck aus einem Rechteck herausgeschnitten ergibt 4 kleine disjunkte Rechtecke

Deshalb wählt man im Zweidimensionalen Rechtecke, um die Fläche anderer Mengen zu nähern. Das auch, weil man Rechtecke lückenlos aneinanderlegen kann, um Flächen zu überdecken. Im ${ℝ}^p,p\ge 3$ wählt man dazu (verallgemeinerte) Quader.

Halbringe

Wir hatten die praktische Eigenschaft gesehen, dass der Schnitt von Quadern wieder einen Quader ergibt und die Differenz von Quadern eine disjunkte Vereinigung von Quadern ergibt.

Ein mathematisches Objekt mit diesen Eigenschaften benennen wir als "Halbring". In den folgenden Sätzen setzen wir nur die Halbring-Eigenschaft voraus und beweisen alles somit für alle endlichen Dimensionen gleichzeitig. Wir benötigen dann keine Fallunterscheidung für die Dimensionen $p=1,2,3,\dots$. Wenn wir statt Rechtecken z.B. Kreise zum Überdecken einer Menge nähmen, hätten wir die genannten Eigenschaften nicht und würden uns mit dem Maßerweiterungssatz und mit der Konstruktion einer minimalen Überdeckung und Flächenbestimmung viel schwerer tun.

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