Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Grenzwerte von Mengenfolgen und Stetigkeit

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In der Maßtheorie wollen wir Mengen eine Länge, eine Fläche oder ein Volumen zuordnen. Unser Ziel ist, später die "guten" Mengen durch abzählbar viele Intervalle, Rechtecke oder Quader "minimal" zu überdecken und damit die Länge, die Fläche oder das Volumen der "guten" Menge zu bestimmen.

Wir hatten in den letzten Kapiteln die endlichen disjunkten Vereinigungen der Rechtecke betrachtet: diese bilden einen Ring (mit $A,B\in R$ sind auch $\mathrm{\varnothing },A\cup B,A\mathrm{\setminus }B\in R$). Ihnen konnten wir eindeutig ein Volumen zuordnen. Wenn ihre abzählbare Vereinigung wieder die Form einer endlichen disjunkten Vereinigung von Rechtecken hat und ihre Fläche die abzählbare Summe der Einzelflächen ist, in mathematischer Schreibweise

dann nannten wir die Mengenfunktion sigma-additiv.

Endliche Additivität ist naheliegend, unter welchen Bedingungen liegt jedoch Sigma-Additivität vor? Das betrachten wir in diesem Kapitel. Wir sehen, dass Sigma-Additivität (fast) gleich bedeutend ist zur Stetigkeit von oben oder von unten von $m$.

Dazu müssen wir den Grenzwert von Mengenfolgen betrachten (wenn er existiert):

Die Folge der Mengen ${\left([0,1+\frac{1}{n})\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ wird immer kleiner (wir sagen, sie ist monoton fallend) und hat den Grenzwert

Die Folge der Mengen ${\left([0,1-\frac{1}{n})\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ wird immer größer (wir sagen sie ist monoton steigend) und hat den Grenzwert

d.h. die $1$ ist nicht mehr dabei, da sie in allen Mengen nicht enthalten ist, aber jede Zahl nahe und kleiner gleich $1$ wird ab einem $n_0$ überdeckt durch $[0,1-\frac{1}{n_0})$ und alle späteren Intervalle.

"Grenzwerte" von Mengenfolgen sind also etwa Naheliegendes: Wenn die Menge $A_i$ jeweils in der Menge $A_{i+1}$ ineinander enthalten sind, nähern sie sich ihrer Vereinigung an. Enthält umgekehrt die Menge $A_i$ die Menge $A_{i+1}$, so nähern sie sich dem Durchschnitt an. Das ist der Grund für folgende

Oben hatten wir "Grenzwerte" von Folgen von Mengen konstruiert. Ganz analog zu Stetigkeit von Funktionen auf $ℝ$ führen wir nun einen Stetigkeitsbegriff für ein endlich additives $m$ ein! Mit dem folgenden Satz sehen wir, dass das fast gleichwertig zur Sigma-Additivität ist. Und das obwohl die intuitive Begriffsbildung eine andere ist.

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