Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Die erzeugte Sigma-Algebra

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Motivation

In der Maßtheorie wollen wir Mengen ein Maß zuordnen. Bei Teilmengen aus $ℝ$ sind dies Längen, bei Teilmengen aus ${ℝ}^2$ Flächen, bei Teilmengen aus ${ℝ}^3$ Volumina und bei Teilmengen aus ${ℝ}^p$ mit $p\ge 4$ verallgemeinerte Volumina. Dabei ordnen wir nur gewissen „guten“ Mengen ein Maß zu: das sind jene Mengen die wir durch Intervalle oder Rechtecke oder Quader "gut" überdecken können.

Wo stehen wir

Zuerst haben wir nur sehr primitive geometrische Figuren, wie Intervalle, Rechtecke oder (verallgemeinerte) Quader betrachtet und deren Eigenschaften zum Halbring verallgemeinert (mit $A,B\in H$ sind auch $\mathrm{\varnothing },A\cap B\in H$ und $A\mathrm{\setminus }B$ ist endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus $H$). Danach haben wir endliche disjunkte Vereinigungen von Halbringelementen eingeführt und zum Ring erklärt (mit $A,B\in R$ sind auch $\mathrm{\varnothing },A\cup B,A\mathrm{\setminus }B\in R$). Daraufhin haben wir unsere Flächenfunktion verallgemeinert zu einem additiven Inhalt bzw. sigma-additiven Prämaß, zuerst auf dem Halbring, dann auf dem Ring und deren Eigenschaften untersucht. Wir haben dann bewiesen, dass unsere Flächen-/Volumenfunktion ein Prämaß ist. Nachdem wir im letzten Kapitel die Sigma-Algebra der "guten Mengen" eingeführt haben (dort gilt mit $A_n\in S$ sind auch $\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n,A_n^C,\mathrm{\varnothing }\in S$), betrachten wir nun die von einem beliebigen Mengensystem erzeugte Sigma-Algebra. Diese ist entscheidend, da Sigma-Algebren nicht anschaulich sind. Man führt deshalb Beweise auf dem sehr anschaulichen Erzeugendensystem und zeigt, dass die Eigenschaft eine Sigma-Algebra erfüllt. Damit gilt die Eigenschaft für die vom Erzeugendensystem erzeugte Sigma-Algebra.

Zur Übersicht der Maßheorie-Herleitung geht es hier Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Allgemeine_Konstruktion_eines_Maßes

Der Schnitt von Sigma-Algebren

Wir suchen gleich eine kleinste Sigma-Algebra. Dafür benötigen wir den folgenden Satz, dass der Schnitt von Sigma-Algebren wieder eine Sigma-Algebra ist.

Die erzeugte Sigma-Algebra

Mit dem Schnitt von Sigma-Algebren können wir eine kleinste Sigma-Algebra erzeugen wie folgt Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition

Als Erzeugendensystem $E$ wählen wir im nächsten Kapitel unseren Ring $R$ und betrachten $S(R)$, d.h. die von den Intervallen erzeugte Sigma-Algebra der "guten Mengen".

Aufgabe 1: Einfache erzeugte Sigma-Algebren

Sigma-Algebren begegnen uns später fortlaufend, wir empfehlen daher dringend die folgenden Aufgaben durchzugehen und sich mit Eigenschaften von Sigma-Algebren vertraut zu machen. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe

Aufgabe 2: Gleichheit von Sigma-Algebren

Hier wollen wir untersuchen, wann zwei erzeugte Sigma-Algebren gleich sind. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe

Aufgabe 3: Die Sigma-Algebra einer disjunkten abzählbaren Zerlegung

Das folgende Beispiel ist eine Verallgemeinerung der Aufgabe 1 und wird in einer Folgeaufgabe benötigt. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe

Aufgabe 5: Vereinigung von Sigma-Algebren

Diese Aufgabe liefert ein Gegenbeispiel, dass nicht notwendig eine Sigma-Algebra vorliegen muss. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Aufgabe

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