Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Die Borelsche Sigma-Algebra

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Motivation

In der Maßtheorie wollen wir Mengen ein Maß zuordnen. Bei Teilmengen aus $ℝ$ sind dies Längen, bei Teilmengen aus ${ℝ}^2$ Flächen, bei Teilmengen aus ${ℝ}^3$ Volumina und bei Teilmengen aus ${ℝ}^p$ mit $p\ge 4$ verallgemeinerte Volumina. Dabei ordnen wir nur gewissen „guten“ Mengen ein Maß zu: das sind jene Mengen die wir durch Intervalle oder Rechtecke oder Quader "gut" überdecken können.

Wo stehen wir

Zuerst haben wir nur sehr primitive geometrische Figuren, wie Intervalle, Rechtecke oder (verallgemeinerte) Quader betrachtet und deren Eigenschaften zum Halbring verallgemeinert (mit $A,B\in H$ sind auch $\mathrm{\varnothing },A\cap B\in H$ und $A\mathrm{\setminus }B$ ist endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus $H$). Danach haben wir endliche disjunkte Vereinigungen von Halbringelementen eingeführt und zum Ring erklärt (mit $A,B\in R$ sind auch $\mathrm{\varnothing },A\cup B,A\mathrm{\setminus }B\in R$). Daraufhin haben wir unsere Flächenfunktion verallgemeinert zu einem additiven Inhalt bzw. sigma-additiven Prämaß, zuerst auf dem Halbring, dann auf dem Ring und deren Eigenschaften untersucht. Wir haben dann bewiesen, dass unsere Flächen-/Volumenfunktion ein Prämaß ist. Danach haben wir die Sigma-Algebra der "guten Mengen" eingeführt (dort gilt mit $A_n\in S$ sind auch $\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n,A_n^C,\mathrm{\varnothing }\in S$) und erzeugte Sigma-Algebren betrachtet. Jetzt betrachten wir einen Spezialfall der erzeugten Sigma-Algebra und zwar die Borelsche Sigma-Algebra, die von den Intervallen/Rechtecken/(verallgemeinerten) Quadern erzeugt wird.

Zur Übersicht der Maßheorie-Herleitung geht es hier Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Allgemeine_Konstruktion_eines_Maßes

Die Borelsche Sigma-Algebra

Offene Mengen sind die Mengen einer Topologie (siehe Link zu Analyiss II). Erfreulicherweise ist es egal, ob wir als Erzeugendensystem der Borelschen Sigma-Algebra über ${ℝ}^p$ die offenen Mengen oder die Intervalle/Rechtecke oder (verallgemeinerten) Quader wählen: es kommt dasselbe heraus. Das ist uns einen längeren Beweis wert. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition

Aufgabe 1

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