Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Maßtheorie by Richard4321/Das äußere Maß

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Motivation

In der Maßtheorie wollen wir Mengen ein Maß zuordnen. Bei Teilmengen aus $ℝ$ sind dies Längen, bei Teilmengen aus ${ℝ}^2$ Flächen, bei Teilmengen aus ${ℝ}^3$ Volumina und bei Teilmengen aus ${ℝ}^p$ mit $p\ge 4$ verallgemeinerte Volumina. Dabei ordnen wir nur gewissen „guten“ Mengen ein Maß zu: das sind jene Mengen die wir durch Intervalle oder Rechtecke oder Quader "gut" überdecken können.

Wo stehen wir

Zuerst haben wir nur sehr primitive geometrische Figuren, wie Intervalle, Rechtecke oder (verallgemeinerte) Quader betrachtet und deren Eigenschaften zum Halbring verallgemeinert (mit $A,B\in H$ sind auch $\mathrm{\varnothing },A\cap B\in H$ und $A\mathrm{\setminus }B$ ist endliche disjunkte Vereinigung von Elementen aus $H$). Danach haben wir endliche disjunkte Vereinigungen von Halbringelementen eingeführt und zum Ring erklärt (mit $A,B\in R$ sind auch $\mathrm{\varnothing },A\cup B,A\mathrm{\setminus }B\in R$). Daraufhin haben wir unsere Flächenfunktion verallgemeinert zu einem additiven Inhalt bzw. sigma-additiven Prämaß, zuerst auf dem Halbring, dann auf dem Ring und deren Eigenschaften untersucht. Wir haben uns das System der "guten" Mengen definiert als Sigma-Algebra (dort gilt mit $A_n\in S$ sind auch $\bigcup _{n\in \mathbb{N}}{A}_n,A_n^C,\mathrm{\varnothing }\in S$) und sigma-additive Maße darauf betrachtet. Nun führen wir äußere Maße als beweistechnisches Hilfsmittel für den Maßfortsetungssatz ein.

Zur Übersicht der Maßheorie-Herleitung geht es hier Mathe_für_Nicht-Freaks:_Buchanfang_Maßtheorie_by_Richard4321/_Allgemeine_Konstruktion_eines_Maßes

Das äußere Maß

Wir geben uns nun einen Inhalt, d.h. eine additive, nicht-negative Abbildung von einem Halbring, z.B. $I^p$, nach $[0,\mathrm{\infty }]$ vor. Einen möglichen haben wir bereits im Kapitel "Die Volumenfunktion ist ein Prämaß" konstruiert.

Jetzt suchen wir die Fortsetzung auf die von dem Ring erzeugte Sigma-Algebra $S(F^p)$. Dazu konstruieren wir uns ein äußeres Maß auf allen Teilmengen von ${ℝ}^p$ als minimale Überdeckung mit abzählbar vielen Elementen aus dem Ring.

Je feiner wir dabei die überdeckenden Rechtecke wählen und je weniger sich die überdeckenden Mengen überschneiden, umso besser wird die Näherung sein, wie man an folgenden Überdeckungen eines Fünfecks sieht.

• 
  Grobe Überdeckung des Fünfecks mit Rechtecken
• 
  Feine Überdeckung des Fünfecks mit Rechtecken

Notwendigkeit der abzählbaren Überdeckung

In der Definition wurden abzählbare Überdeckungen verwendet. Diese führen zu einer besseren Näherung der Fläche, wie wir uns an einem Beipiel klarmachen wollen. Betrachte die Menge $P=\mathbb{Q}\cap [0,1]$ der rationalen Zahlen im Einheitsintervall. Wähle $ϵ>0$ beliebig klein. Überdecke nun eine Abzählung von $P$ durch Intervalle $A_n$ der Länge kleiner $ϵ\cdot 2^{-n}$. Dann folgt für das äußere Maß

Vorlage:Einrücken und da $ϵ$ beliebig gewählt war, folgt

Bei einer Überdeckung mit endlich vielen Intervallen hätte man immer das ganze Intervall $[0,1]$ überdecken müssen, um alle Punkte aus $Q$ zu erreichen, d.h. $l^{\ast }(Q)=1$.

Aufgaben

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