Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Algebra by Morrison69/ Untergruppen und Nebenklassen

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Untergruppen und Nebenklassen

In diesem Kapitel beschäftigen wir uns mit Untergruppen. Kurz und bündig sind das Teilmengen $A\subseteq M$ von Gruppen $(M,\circ ,e)$, die mit der entsprechenden Verknüpfung $\circ$ wiederum eine Gruppe bilden. Das diskutieren wir an mehreren Beispielen, vor allem jedoch an den ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$.

Untergruppen

Die geraden Zahlen

Orientieren wir uns ein weiteres Mal an der Gruppe der ganzen Zahlen $(\mathbb{Z},+,0)$:

Die Definition von Untergruppen

Angelehnt an das Beispiel der geraden Zahlen können wir nun sauber definieren:

Im Beispiel zu den geraden Zahlen betonte ich, dass die geraden Zahlen bezüglich der Addition abgeschlossen sind. In der nachgelieferten allgemeinen Definition steckt das im zweiten Punkt: Würde nämlich die Verknüpfung $\circ$ zwei Elementen $a,b\in A$ ein Element $a\circ b\notin A$ zuordnen, so wäre $(A,\circ ,e)$ gar keine Gruppe. Beachte auch immer, dass das neutrale Element $e\in M$ in $A$ liegt:

Betrachten wir anstatt den ganzen Zahlen $2\mathbb{Z}$ die ungeraden Zahlen, $2\mathbb{Z}+1=\{2k+1:k\in \mathbb{Z}\}$, so merken wir schnell: Da die 0 keine ungerade Zahl ist, kann $(2\mathbb{Z}+1,+,0)$ auch keine Untergruppe der ganzen Zahlen sein.

Ebenso muss nach Definition zu jedem Element $a\in A$ auch das Inverse $a^{-1}\in A$ in der Untergruppe enthalten sein.

Untergruppenkriterien

Es kann teilweise ziemlich mühsam sein, die Untergruppenaxiome nachzuprüfen. Daher stellen wir uns die Frage: Gibt es einfache Kriterien, mit denen wir einer Menge $A\subseteq M$ ansehen können, ob sie mit der Verknüpfung $\circ$ eine Untergruppe der Gruppe $(M,\circ ,e)$ ist? Diese Frage lässt sich glücklicherweise positiv beantworten:

Dieses Kriterium ist deshalb so beachtlich, da es nicht explizit die Existenz des neutralen Elements in der Untergruppe fordert, sondern automatisch mitliefert! Schauen wir uns das vorherige Kriterium etwas genauer an: Es fordert

• die Abgeschlossenheit der Untergruppe bezüglich der Verknüpfung $\circ$ und
• die Abgeschlossenheit der Untergruppe bezüglich der Inversion.

Letzteres bedeutet einfach, dass mit einem Element der Untergruppe auch sein Inverses in der Untergruppe liegt. Wenn das aber tatsächlich der Fall ist, können wir dann nicht die beiden Bedingungen zu einer einzigen verschmelzen? Natürlich - denn das regelt das folgende Kriterium:

Beim Beweis können wir gleich das gerade bewiesene erste Untergruppenkriterium heranziehen. Denn wir wissen ja schon: Eine Teilmenge $A\subseteq M$ ist genau dann eine Untergruppe, wenn das erste Untergruppenkriterium erfüllt ist! Wir zeigen also schematisch

Untergruppe ($\iff$ 1. Kriterium $\iff$) 2. Kriterium

und gehen den Weg über das erste Untergruppenkriterium. Wie oben müssen wir zwei Richtungen zeigen:

Schnitte von Untergruppen

Aus der Mengenlehre ist dir bekannt, dass wir zwei Mengen schneiden können. Das wiederhole ich an dieser Stelle kurz: Schneiden wir zwei Mengen $A,B$, so filtern wir gerade diejenigen Elemente heraus, die sowohl in der Menge $A$ als auch in der Menge $B$ enthalten sind. Formal betrachtet bilden wir also die Menge $A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\}$. Diese Menge nennen wir den Schnitt oder auch die Schnittmenge von A und B. In diesem Abschnitt zeigen wir, dass jeder beliebige Schnitt von Untergruppen wieder eine Untergruppe ist. Hierfür müssen wir aber zunächst präzisieren, was wir unter einem beliebigen Schnitt verstehen. Das erfordert etwas Theorie.

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