Mathe für Nicht-Freaks: Buchanfang Algebra by Morrison69/ Grundlegendste Eigenschaften von Gruppen

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In dem vorigen Kapitel haben wir uns bereits sehr weit an den Gruppenbegriff angenähert. Hier wollen wir noch einmal eine zusammenfassende Definition geben.

Definition einer Gruppe

Eine Gruppe besteht aus einer Menge $G$ und einer Verknüpfung $\circ$, die zwei Elemente aus der Gruppe verknüpft und sie einem dritten Element aus der Gruppe zuordnet. Wir schreiben eine Gruppe als Tupel $(G,\circ )$. Die Verknüpfung können wir in Kurzschreibweise so darstellen: Vorlage:Einrücken
Damit ein Tupel $(G,\circ )$ eine Gruppe ist, müssen folgende Axiome gelten:

1. Die Verknüpfung ist assoziativ. Das bedeutet: Für alle Elemente $x,y,z\in G$ gilt: $(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$.
2. Es gibt ein neutrales Element $e\in G$. Dieses neutrale Element erfüllt für jedes Element $x$ der Gruppe: $x\circ e=x$ und $e\circ x=x$.
3. Zu jedem Element der Gruppe existiert ein inverses Element. Das bedeutet: Wir haben ein Element $x\in G$. Dann muss es dazu auch ein Element $y\in G$ geben, sodass gilt: $x\circ y=e$ und $y\circ x=e$. Wir nennen $y$ das Inverse von $x$. Statt $y$ können wir auch $x^{-1}$ schreiben.

Folgerungen: Weitere wichtige Eigenschaften von Gruppen

Zusätzlich zu den drei in der Definition geforderten Eigenschaften können wir auch noch weitere Gemeinsamkeiten aller Gruppen herausfinden.

Anmerkung

Dem einen oder anderen wird es schon aufgefallen sein: Bei dem Gruppenbegriff geht es nicht nur um Zahlen (bzw. Mengen), sondern auch und vor allem um Verknüpfungen. Daher wird auch häufiger gesagt, eine Menge sei bezüglich einer bestimmten Verknüpfung eine Gruppe.

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