Mathe für Nicht-Freaks: Binomialkoeffizient

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Herleitung und Definition

Damit du diese Frage beantworten kannst, musst du erst einmal die Wahrscheinlichkeit eines Lottogewinns wissen. Wie groß ist also die Wahrscheinlichkeit, 6 Richtige aus 49 Möglichkeiten zu raten? Zur Antwort dieser Frage benötigen wir die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten, 6 Zahlen aus 49 möglichen zu wählen. Hier kommt der Binomialkoeffizient ins Spiel. Er ist nämlich definiert als:

Man schreibt für den Binomialkoeffizienten $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$. Dieser wird „n über k“ oder „k aus n“ ausgesprochen (Die deutsche Lotterie wird auch 6 aus 49 genannt). Der Binomialkoeffizient verdankt seinen Namen der Tatsache, dass er als Koeffizient im binomischen Lehrsatz auftritt. Aber dazu im nächsten Kapitel mehr.

Unsere Aufgabe ist es, den Binomialkoeffizienten $(\genfrac{}{}{0ex}{}{49}{6})$ zu bestimmen. Gehen wir dazu schrittweise vor: Zunächst ist es wichtig, dass du streng zwischen den Begriffen Anordnung und Kombination unterscheidest. Der Unterschied zwischen diesen zwei Begriffen ist der, dass bei einer Anordnung auf die Reihenfolge der Objekte geachtet wird, bei einer Kombination nicht. So sind zwar die Anordnungen $\left(\begin{array}{c}3,48,23,12,35,42\end{array}\right)$ und $\left(\begin{array}{c}12,42,35,23,48,3\end{array}\right)$ verschieden, die Kombinationen $\{3,48,23,12,35,42\}$ und $\{12,42,35,23,48,3\}$ aber gleich.

Jedoch ist beim Lotto die Reihenfolge der gezogenen Zahlen irrelevant. In den oben gefundenen Anordnungen gibt es viele, die zur gleichen Kombination gehören. Dementsprechend die Frage:

Mit Hilfe des obigen Lösungswegs können wir auch eine allgemeine Formel für die Berechnung des Binomialkoeffizienten $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ finden. Hierzu benötigen wir eine Fallunterscheidung in $k\le n$ und $k>n$. Betrachten wir zunächst den Fall, dass $k$ größer als $n$ ist:

Und nun zum Fall, dass $k\le n$ und $k\ne 0$ ist:

Zusammengefasst erhalten wir folgende alternative Definition des Binomialkoeffizienten:

Hier einige Beispiele:

Und was ist nun wahrscheinlicher: Blitzschlag oder Lottogewinn?

Wie oben berechnet, gibt es $13983816$ verschiedene Kombinationen von 6 Zahlen beim Lottospiel.

Und wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit vom Blitz getroffen zu werden? Um diese Frage zu beantworten, müssen wir sie konkretisieren: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit in Deutschland innerhalb eines Jahres vom Blitz getroffen zu werden?. Nach dem Wikipedia-Artikel gibt es durchschnittlich 3 bis 7 Todesfälle durch Blitzschlag in Deutschland pro Jahr. In diesem Artikel ist die Rede von 4 bis 5 Todesfällen und Herr Krämer nennt so um die 10 Todesfälle jährlich (Leider konnte ich nur Angaben zu den jährlichen Todesfällen finden. Es wird sicherlich mehrere Menschen geben, die vom Blitz getroffen, aber nicht gestorben sind). Bei gut 82 Millionen Einwohner in Deutschland ergibt dies mit durchschnittlich 5 Todesfällen im Jahr eine Wahrscheinlichkeit von $\frac{5}{82000000}=6,09\cdot 10^{-8}$, in Deutschland innerhalb eines Jahres vom Blitz tödlich getroffen zu werden, also ungefähr die Wahrscheinlichkeit im Lotto zu gewinnen. Wenn man noch annimmt, dass die Anzahl der nicht-tödlichen Blitzschläge auf Menschen mindestens genauso hoch ist wie die Anzahl der jährlichen Todesfälle, ergibt dies eine Wahrscheinlichkeit von mindestens $\frac{10}{82000000}=1,2\cdot 10^{-7}$, im Jahr vom Blitz getroffen zu werden. Dementsprechend ist es wahrscheinlicher, in Deutschland innerhalb eines Jahres vom Blitz getroffen zu werden, als bei einem einzigen Tipp 6 Richtige im Lotto zu haben. Beachte, dass wir in der obigen Rechnung nur die Wahrscheinlichkeit eines einzigen Lottotipps berechnet haben. Wenn jemand im Jahr öfter Lotto spielt oder mehr Lottotipps bei einer Ziehung einreicht, dann ist seine Gesamtgewinnwahrscheinlichkeit, mit mindestens einem Tipp zu gewinnen, größer als $7,15\cdot 10^{-8}$.

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