Mathe für Nicht-Freaks: Beschränkte Reihen und Konvergenz

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}}

Beschränkte Reihen mit positiven Summanden konvergieren

Aus dem Kapitel „Monotoniekriterium für Folgen“ wissen wir bereits, dass jede monotone und beschränkte Folge konvergiert. Dieser Satz lässt sich auch auf Reihen anwenden. Nehme eine Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$. Wann ist die dazugehörige Partialsummenfolge monoton wachsend?

Dies ist genau dann der Fall, wenn $a_k\ge 0$ für alle $k\ge 2$ ist. Schließlich ist $a_k$ der Unterschied einer Partialsumme zur nächsten.

Dies kannst du auch so erklären: Sei $S_n=\sum _{k=1}^n{a}_k$ die $n$-te Partialsumme. Die Partialsummenfolge $(s_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ wächst genau dann monoton, wenn $S_{n+1}\ge S_n$ für alle $n\in \mathbb{N}$ ist. Es ist nun:

Die Partialsummenfolge wächst also genau dann monoton, wenn $a_{n+1}\ge 0$ für alle $n\in \mathbb{N}$ ist. Anders formuliert, wenn $a_n\ge 0$ für alle $n\ge 2$ ist.

Nun wissen wir bereits, dass jede monotone und beschränkte Folge konvergiert. Wenn also $a_n\ge 0$ für alle $n\ge 2$ ist (und damit die Partialsummenfolge monoton wächst) und wenn die Partialsummenfolge beschränkt ist, dann konvergiert die Reihe $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k$. Dies ist die Aussage des folgenden Satzes:

Analog kann auch folgender Satz bewiesen werden:

Anwendung: Konvergenz der allgemeinen harmonischen Reihe Vorlage:Anker

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}