Mathe für Nicht-Freaks: Allgemeine Intervallschachtelung

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}}

Allgemeine Intervallschachtelung

In diesem Kapitel werde ich die Art der Intervallschachtelung beschreiben, welche du in den meisten Lehrbüchern findest. Hier wird die Breite der Intervalle kleiner als jede positive reelle Zahl und nicht nur kleiner als jede positive rationale Zahl. Für diese Art der Intervallschachtelung werde ich den Begriff „allgemeine Intervallschachtelung“ verwenden. Die Definition lautet:

Wenn du noch nicht den Abschnitt mit der Definition zur Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit gelesen haben solltest, dann empfehle ich dir, dies nun nachzuholen. Du wirst dann auch obige Definition besser verstehen.

Allgemeines Intervallschachtelungsprinzip

Definition

Auch zur obigen Art der Intervallschachtelung gibt es ein Intervallschachtelungsprinzip. Dieses lautet:

Wie auch beim archimedischen Axiom ist dieses Intervallschachtelungsprinzip für uns ein zu beweisender Satz, während es in anderen Lehrbücher als Axiom eingeführt wird. Wir werden obigen Satz später aus dem Intervallschachtelungsprinzip mit rationaler Genauigkeit beweisen.

Eindeutigkeit der Approximation

Du wirst vielleicht schon festgestellt haben, dass im Gegensatz zum Intervallschachtelungsprinzip mit rationaler Genauigkeit im obigen Satz nur die Existenz, aber nicht die Eindeutigkeit einer reellen Zahl gefordert wird, die von allen Intervallen approximiert wird. Der Grund ist, dass bereits aus der Definition der allgemeinen Intervallschachtelung folgt, dass es maximal eine reelle Zahl geben kann, die in allen Intervallen liegt.

Mit dieser Erkenntnis können wir obiges Intervallschachtelungsprinzip verbessern:

Unterschiede zwischen den Intervallschachtelungen

Mit der allgemeinen Intervallschachtelung und der Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit haben wir zwei verschiedene Arten der Intervallschachtelung kennen gelernt. Im obigen Abschnitt haben wir gesehen, dass die allgemeine Intervallschachtelung bereits aus ihrer Definition heraus impliziert, dass jede durch sie approximierte reelle Zahl eindeutig ist. Dies ist bei Intervallschachtelungen mit rationaler Genauigkeit nicht der Fall. Bei diesen Intervallschachtelungen wissen wir nämlich nur, dass die Breite der Intervalle kleiner als jede positive rationale Zahl wird, aber nicht, ob sie kleiner als jede positive reelle Zahl wird. Wenn es nun zwei Zahlen mit unendlich kleinem Abstand zueinander gäbe, dann gäbe es auch eine Intervallschachtelung mit rationaler Genauigkeit, die beide Zahlen gleichermaßen approximieren.

Deswegen mussten wir per Axiom festlegen, dass auch Intervallschachtelungen mit rationaler Genauigkeit maximal eine Zahl approximieren. Der Vorteil hier ist aber, dass wir dadurch das archimedische Axiom geschenkt bekommen und es nicht mehr extra als Axiom formulieren müssen. Aus dem allgemeinen Intervallschachtelungsprinzip ist demgegenüber das archimedische Axiom nicht ableitbar. Denn es ist nicht ohne Weiteres klar, ob die Folge der Intervalle $[0,1]$, $[0,\frac{1}{2}]$, $[0,\frac{1}{3}]$ usw. wirklich eine allgemeine Intervallschachtelung ist oder nicht. Hierzu benötigen wir nämlich das archimedische Axiom als extra formuliertes Axiom.

Beweis des allgemeinen Intervallschachtelungsprinzip

Wir müssen nun das allgemeine Intervallschachtelungsprinzip beweisen:

Alternative Formulierung der Vollständigkeit

Viele andere Lehrbücher gehen einen anderen Weg, die Vollständigkeit der reellen Zahlen zu beschreiben. Einige dieser Lehrbücher nutzen dazu das allgemeine Intervallschachtelungsprinzip in Kombination mit dem archimedischen Axiom. Ich habe bereits gezeigt, dass aus dem Intervallschachtelungsprinzip mit rationaler Genauigkeit das archimedische Axiom und die allgemeine Intervallschachtelung folgen. Jetzt muss nur noch bewiesen werden, dass das archimedische Axiom zusammen mit der allgemeinen Intervallschachtelung auch das Intervallschachtelungsprinzip mit rationaler Genauigkeit impliziert. Damit zeigen wir nämlich, dass beide Beschreibungsmöglichkeiten für die Vollständigkeit der reellen Zahlen äquivalent sind. Es ist also egal, welche Beschreibungsmöglichkeit man wählt. Weitere Möglichkeiten, die Vollständigkeit zu charakterisieren, werden wir dir in späteren Kapiteln vorstellen. Jetzt aber zeigen wir:

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}