Mathe für Nicht-Freaks: Abstellraum/ Treppenfunktionen

{{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|oben}}

Treppenfunktionen

Wir haben das Integral $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ einer riemannintegrierbaren Funktion $f:[a,b]\to ℝ$ mit $a,b\in ℝ$ und $a<b$ definiert als Vorlage:Einrücken Dabei ist $(𝒵,𝒯)$ eine Unterteilung, $\mu (𝒵,𝒯)$ die Feinheit der Unterteilung und $S(f,𝒵,𝒯)$ die Riemannsumme.

Wie können wir das Integral von beliebigen Funktionen bestimmen? Wir betrachten zunächst Funktionen, von denen wir das Integral leicht bestimmen können. Die folgenden Beispiele zeigen solche Funktionen. Vorlage:Todo

Das sind Treppenfunktionen.

Definition

Wie können wir das Integral $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ für eine Treppenfunktion $f$ berechnen? Vorlage:Todo Anschaulich entspricht das Integral der Fläche unter dem Graphen. Diese Fläche können wir in $n$ Rechtecke unterteilen. Das $i$-te Rechteck hat die Breite $x_{i+1}-x_i$ und die Höhe $c_i$. Insgesamt ergibt sich also für die Fläche unter dem Graphen von $f$ Vorlage:Einrücken

Wir beweisen nun, dass dies dem Integral $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\mathrm{d}x$ entspricht.

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz {{#invoke:Mathe für Nicht-Freaks/Seite|unten}}