Mathe für Nicht-Freaks: Abstellraum/ Kern, Matrizen und Reihendarstellung Arkkosinus

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Analysis 1

Reihendarstellung Arkossinus und Arkuskosinus

Äuqivalent ist es natürlich auch möglich, die Arkusfunktionen als Reihendarstellung zu definieren:

Lineare Abbildung: Kern

Motivation

Definition

Der Kern einer linearen Abbildung enthält wichtige Informationen über diese Abbildung. Wir wiederholen zunächst die Definition des Kerns:

Warum ist es wichtig, sich mit dem Kern zu beschäftigen?

Die linearen Abbildungen werden auch "strukturerhaltende Abbildungen" zwischen Vektorräumen genannt. Durch sie kann man Vektorräume miteinander in Beziehung setzen und ihre strukturellen Eigenschaften vergleichen. Dabei interessieren uns zum Beispiel die Unterstrukturen, die durch eine lineare Abbildung sichtbar werden. Beispiele dafür sind der Kern und das Bild der linearen Abbildung, welche Untervektorräume des Start- bzw. Zielvektorraums sind. Später werden wir den Kern und das Bild noch mit den Dimensionen des Start- und Zielvektorraums in Beziehung setzen und durch lineare Abbildungen neue Informationen über diese Dimensionen gewinnen.

Analog zum Kern eines Vektorraumhomomorphismus wird auch bei anderen algebraischen Strukturen der Kern von strukturerhaltenden Abbildungen untersucht. Der Begriff "Kern" wird dir daher später noch an anderen Stellen in der Mathematik mit einer sehr ähnlichen Bedeutung wieder begegnen.

Daneben macht der Kern eine Aussage über die lineare Abbildung selbst. An ihm kann man zum Beispiel erkennen, ob eine Abbildung injektiv ist. Man nennt die lineare Abbildung dann auch einen Monomorphismus.

Der Kern ist ein Untervektorraum

Wir zeigen jetzt, dass der Kern einer linearen Abbildung ein Untervektorraum des Startvektorraums ist:

Der Zusammenhang zwischen der Injektivität und dem Kern einer linearen Abbildung

Betrachten wir nun eine lineare Abbildung $L:V\to W$, wobei $V$ und $W$ zwei $K$-Vektorräume sind. Angenommen, wir wissen, dass der Kern von $L$ mehr als ein Element hat.

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Frage Nun wissen wir bereits, dass der Kern von $L$ mindestens das neutrale Element $0_V$ des Startvektorraums besitzen muss. Der Kern muss also mindestens ein Element (nämlich $0_V$) besitzen. Gerade haben wir gezeigt, dass jede lineare Abbildung mit mehr als einem Element im Kern nicht injektiv ist. Gleich werden wir auch die Umkehrung zeigen, also: Wenn der Kern nur ein Element besitzt, muss die Abbildung injektiv sein. Das fassen wir zusammen im folgenden Satz:

Lösungsmethode und Beispielaufgaben zur Bestimmung des Kerns

Lösungsmethode

Wenn wir nun den Kern einer linearen Abbildung direkt bestimmen wollen, kann man wie folgt vorgehen: Seien $V$ und $W$ endlich-dimensionale Vektorräume und $L:V\to W$ eine lineare Abbildung. Wir möchten nun der Kern von $L$ bestimmen:

1. Die darstellende Matrix von $L$ aufstellen (Wenn sie noch nicht angegeben ist).
2. Gauß-Jordan-Algorithmus auf die Matrix anwenden.
3. $Rang(L)$ bestimmen und mit der Dimensionsformel (diese werden wir später noch kennenlernen) die Dimension des Kerns bestimmen.
4. Mittels eines linearen Gleichungssystems die Basisvektoren des Kerns finden.

Beispielaufgaben in endlich-dimensionalen Vektorräumen

Hierzu zunächst ein einfaches Beispiel.

Nun versuchen wir in einem etwas komplizierteren Fall den Kern zu bestimmen. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Beispiel

Beispielaufgaben in unendlich-dimensionalen Vektorräumen

Die bisherigen Beispiele waren Beispiele in endlich-dimensionalen Vektorräumen. Der Vorteil hierbei ist, dass man die darstellende Matrix der Abbildung aufschreiben kann und anschließend nach der oben beschriebenen Lösungsmethode vorgehen kann. In unendlich-dimensionalen Vektorräuemn ist das etwas komplizierter.

Wir fangen mit einem einfachen Beispiel in einem unendlich-dimensionalen Vektorraum an.

Dimension eines Vektorraums als Invariante

Der folgende Text sollte in einen eigenen Artikel mit dem Titel „Dimension eines Vektorraums als Invariante“ ausgelagert werden!

Eine fundamentale Frage der linearen Algebra lautet: Wann sind zwei vorgegebene $K$-Vektorräume zueinander isomorph? Ist beispielsweise die Ebene ${ℝ}^2$ isomorph zum Raum ${ℝ}^3$? Dies sollte nicht der Fall sein in einer so grundlegenden Theorie wie der linearen Algebra, die unsere konkrete Anschauung des Raumbegriffs sinnvoll abstrakt abbilden soll.

Aber wie nähert man sich der Frage, ob ${ℝ}^2$ und ${ℝ}^3$ zueinander isomorph sind, mathematisch? Es liegt nahe, dass die Antwort etwas mit der Verschiedenheit $2\ne 3$ der „Dimension“ der Räume zu tun haben sollte. Dahinter steht das in der Mathematik weit verbreitete Prinzip, eine sogenannte Invariante für die Objekte unseres Interesses einzuführen. Stelle dir konkret vor, wir könnten jedem $K$-Vektorraum eine „Kennzahl“ zuordnen, sodass sich die Kennzahlen zweier zueinander isomorpher $K$-Vektorräume stets gleichen. Eine derartige Zuordnung wird dann als Invariante bezeichnet. Sind nun zwei vorgegebene $K$-Vektorräume nicht isomorph, dann unterscheiden sind mit etwas Glück (also wenn die Invariante „gut“ gewählt ist) auch die zugehörigen Werte der Invarianten. (Jedem $K$-Vektorraum die Kennzahl Null zuzuordnen wäre also ebenso einfach wie uninteressant!) Ist eine Invariante einmal erfolgreich definiert worden, so gilt also:

Die große Kunst besteht somit darin, eine möglichst geschickte Invariante zu finden, mit deren Hilfe man möglichst viele $K$-Vektorräume auseinander halten kann. Motiviert durch unsere Ausgangsfrage würden wir nun gerne unsere Invariante, die Dimension, derart definieren, dass sie dem euklidischen Raum ${ℝ}^n$ für jede ganze Zahl $n\ge 0$ die Zahl $n$ zuordnet. Dabei gibt es jedoch die folgenden beiden Probleme:

1. Wir müssen bereits wissen, dass ${ℝ}^m$ und ${ℝ}^n$ für $m\ne n$ nicht zueinander isomorph sind, um eine wohldefinierte Invariante zu erhalten.
2. Es ist unklar wie die Definition der Dimension auf einen abstrakt gegebenen $K$-Vektorraum $V$ ausgedehnt werden kann.

Folglich müssen wir unsere Vorgehensweise ändern: Wir benötigen eine alternative Charakterisierung der Dimension, die einerseits im Fall des euklidischen Raums das Gewünschte liefert und andererseits offensichtlich invariant unter Isomorphismus ist. Zu diesem Zweck kehren wir zu den Räumen ${ℝ}^2$ und ${ℝ}^3$ vom Anfang zurück und überlegen, worin sie sich in Bezug auf ihre Dimension unterscheiden. Eine wichtige Beobachtung ist, dass sich die beiden Räume in Bezug auf die Vielfalt ihrer Untervektorräume unterscheiden: Die einzige Ebene im ${ℝ}^2$ ist ${ℝ}^2$ selbst, wohingegen man in ${ℝ}^3$ offensichtlich sehr viele verschiedene Ebenen findet, wie beispielsweise die drei paarweise verschiedenen Koordinatenebenen $E_i$, $i=1,2,3$, definiert durch die Gleichung $x_1=0$. Der Grund ist, dass die genannten Ebenen im ${ℝ}^3$ echte Untervektorräume bilden, d.h. $E_i⊊{ℝ}^3$.

Man könnte also auf die Idee kommen, die Dimension eines $K$-Vektorraums $V$ als maximale Schachtelungstiefe von Untervektorräumen von $V$ zu definieren. In der Tat gilt der folgende

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