Mathe für Nicht-Freaks: Abstellraum/ Eigenschaften des euklidischen Vektorraums

Der dreidimensionale euklidische Koordinatenraum

Den dreidimensionalen euklidischen Vektorraum ${ℝ}^3$ mit seinem kartesischen Koordinatensystem kennst du sicherlich auch aus der Schule. Wir wollen diesen Vektorraum hier etwas genauer unter die Lupe nehmen.

Der 3-dimensionale reelle Koordinatenraum ${ℝ}^3$ ist die Menge der 3-Tupel $x=(x_1,x_2,x_3)$ wobei die $x_1,x_2,x_3$ reelle Zahlen sind. Man bezeichnet die Elemente des ${ℝ}^3$ als Vektoren oder als Punkte. Wir schreiben die Elemente des ${ℝ}^3$ in der dir sicherlich geläufigen Form $\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$

Mit folgender Vektoraddition und S-Multiplikation wird ${ℝ}^3$ zu einem Vektorraum (siehe auch )

Sei $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right);\overrightarrow{y}=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right);\overrightarrow{x}+\overrightarrow{y}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{x}_1+y_1\\ x_2+y_2\\ x_3+y_3\end{array}\right);\rho \cdot x=\rho \cdot \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\rho x_1\\ \rho x_2\\ \rho x_3\end{array}\right)$

Das Skalarprodukt ist definiert durch

$\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{y}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)=x_1{y}_1+x_2{y}_2+x_3{y}_3$.

Damit wir dem Skalarprodukt zweier Vektoren eine reele Zahl, eben ein Skalar zugeordnet.

Mit diesem Skalarprodukt ist der ${ℝ}^3$ ein euklidischer Vektorraum.

Geometrisch kann das Skalarprodukt zweier Vektoren $\overrightarrow{a};\overrightarrow{b}$ definiert werden durch:

Seien $a=|\overrightarrow{a}|$ und $b=|\overrightarrow{b}|$ die Längen der Vektoren $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ und bezeichne $\phi =\sphericalangle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ den von $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ eingeschlossenen Winkel, so ist

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \sphericalangle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=ab\cos \phi .$

Bemerkungen

Ist $\phi =0^{\circ }$ dann ist $\cos \phi =1$ und die Vektoren $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ sind parallel und gleichgerichtet. Es gilt $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$

Ist $\phi =90^{\circ }$ dann ist $\cos \phi =0$ und die Vektoren $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ sind orthogonal. Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis

Länge eines Vektors

Sei $\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\in {ℝ}^3$

Der euklidische Vektorraum ist zunächst der Raum unserer Anschauung, als der ${ℝ}^3$. Den ${ℝ}^2$ nennt man auch die euklidische Ebene. Im Abschnitt Euklidischer Raum findest Du eine detaillierte Darstellung des euklidischen Vektorraums und seiner Eigenschaften. Studiere also dort die euklidischen Vektorräume.