Mathe für Nicht-Freaks: Abstellraum/Skalarprodukt

Das Skalarprodukt

Das Skalarprodukt, das du sicherlich aus der Schule kennst, ist au der Sicht der Matrizen gesehen nichts anderes als die Multiplikation eines Zeilenvektors $a^T$ mit dem Spaltenvektor $b$. Wir betrachten dabei $a,b$ als Spaltenvektoren. Ist $\overrightarrow{b}=(b_1,\dots ,b_n{)}^T$ ein Vektor mit n Komponenten, so kann er als eine Matrix vom Typ $(n\times 1)$ aufgefasst werden. Damit die $(n\times 1)$-Matrix $b$ (von links) mit einem weiteren Vektor $\overrightarrow{a}=(a_1,\dots ,a_n)$ mit n Komponenten multipliziert werden kann, müssen wir diesen vom Spalten- zum Zeilenvektor machen, d.h. zu einer $1\times n$-Matrix $𝔞$, was durch Transponieren geschieht.

Also wird das Skalarprodukt zweier Vektoren definiert durch: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Hinweis

Skalarprodukt im ${ℝ}^3$

Das Skalarprodukt von Vektoren ist das Ergebnis einer Operation, die vom Vektorraum ${ℝ}^3$ in den Körper $ℝ$ führt, somit ist das Ergebnis dieses Skalarprodukts ein Skalar, daher der Name. Im ${ℝ}^3$ werden dazu die einzelnen Komponenten jeweils miteinander multipliziert und anschließend die Produkte addiert.

Einige Eigenschaften des Skalarprodukts sind:

• Das Skalarprodukt ist kommutativ, da $ℝ$ bzgl. der Multiplikation kommutativ ist.
• Es gilt $⟨\overrightarrow{a},(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})⟩=⟨(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})⟩+⟨(\overrightarrow{a},\overrightarrow{c})⟩$ (Distributivgesetz), da in $ℝ$ das Distributivgesetz gilt.
• Weiter gilt: $⟨(s\overrightarrow{a}),\overrightarrow{b}⟩=s\cdot ⟨(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})⟩$ (Assoziativgesetz), da in $ℝ$ das Assoziativgesetz der Multiplikation gilt.

Wir werden das Skalarprodukt und seine Eigenschaften für einen allgemeinen Vektorraum später im Kapitel Vektorräume genauer behandeln.

Den Vektorraum ${ℝ}^n$ nennt man auch euklidischen Vektorraum. Auf diesen speziellen Vektorraum gehen wir in einem späteren Kapitel ein.

Geometrische Berechnung im anschaulichen Raum

Wie wir Kapitel über euklidische Vektorräume schon gesehen haben, können wir das Skalarprodukt im anschaulichen Raum auch geometrisch herleiten. Die Vektoren stellen dabei Pfeile dar, die parallel, gleich lang und gleich orientiert sind. Diese Definition von Vektoren ist dir sicher aus deiner Schulzeit bekannt. Diese Definition bedeutet, dass jeder Vektor eine Äquivalenzklasse ist.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren im Anschauungsraum hängt von der Länge der Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel ab.

Wir wollen geometrisch eine Verknüpfung von zwei Vektoren $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\in {ℝ}^n$ einführen, die den beiden Vektoren eine Zahl in $ℝ$ zuordnet. Wir nennen diese Verknüpfung Skalarprodukt und definieren sie geometrisch im euklidischen Raum und in der euklidischen Ebene wie folgt: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition

Mit dieser Definition kannst du etwas genauer erkennen, was das Skalarprodukt geometrisch bedeutet. Wir wollen nun zeigen, dass beide Definitionen äquivalent sind und beweisen dazu den folgenden Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Satz

Eigenschaften des Skalarprodukts

Aus der Definition des Skalarprodukts $\overrightarrow{a}\circ \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|\cos \phi$ ergibt sich direkt:

• Sind $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ parallel und gleichorientiert, d.h. $\phi =0^{\circ }$ und damit $\cos 0^{\circ }=1,$ so gilt

• Sind $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ parallel und entgegengesetzt orientiert, d.h. $\phi =180^{\circ }$ und damit $\cos {180}^{\circ }=-1,$ so gilt

• Insbesondere ergibt das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst das Quadrat seiner Länge

• Sind $\overrightarrow{a}$ und $\overrightarrow{b}$ orthogonal, d.h. $\phi =90^{\circ }$ und damit $\cos {90}^{\circ }=0,$ so gilt

• Umgekehrt gilt für $\overrightarrow{0}\ne \overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$

• Ist $\sphericalangle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ ein spitzer Winkel, d.h. $0^{\circ }<\phi <{90}^{\circ }$ und damit $0<\cos \phi <1,$ so gilt

• Ist $\sphericalangle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})$ ein stumpfer Winkel, d.h. ${90}^{\circ }<\phi <{180}^{\circ }$ und damit $-1<\cos \phi <0,$ so gilt