Mathe für Nicht-Freaks: Abstellraum/Beispiele für Ringe

Ring der linearen Abbildungen in zwei Variablen

$ℝ$-Lineare Abbildungen von ${ℝ}^2$ nach ${ℝ}^2$ sind Abbildungen der Form Vorlage:Einrücken mit Konstanten $a,b,c,d\in ℝ$. Abbildungen dieser Form treten in vielen verschiedenen Kontexten auf. Hier ein sehr einfaches Beispiel: Die Abbildung $s:{ℝ}^2\to {ℝ}^2;\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}x\\ -y\end{array}\right)$ spiegelt den Vektor $\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ an der $x$-Achse. Auch Stauchungen, Streckungen und Drehungen sind lineare Abbildungen von ${ℝ}^2$ nach ${ℝ}^2$ und jede lineare Abbildung aus $M$ kann als Hintereinanderausführung von Stauchungen bzw. Streckungen und Drehungen dargestellt werden. Sei $M$ die Menge der $ℝ$-linearen Abbildungen von ${ℝ}^2$ nach ${ℝ}^2$. Im Folgenden werden wir aus Bequemlichkeit nur noch linear schreiben, aber $ℝ$-linear meinen. Man kann zwei lineare Abbildungen $f,g:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ zu einer neuen Abbildung $f⊞g:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ aufaddieren, die einem Tupel $\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ die Summe seiner beiden Bilder zuordnet. Die Bilder $f(\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right))$ und $g(\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right))$ werden dabei wie bei der Vektoraddition komponentenweise addiert. Vorlage:Todo

Außerdem kann man lineare Abbildungen von ${ℝ}^2$ nach ${ℝ}^2$ miteinander verketten. Man erhält so eine Abbildung $f⊡g:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$, die ein Tupel $\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$ auf $f(g(\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right))$ abbildet.

Die Menge der linearen Abbildungen von ${ℝ}^2$ nach ${ℝ}^2$ bildet unter diesen beiden Verknüpfungen einen Ring. Dies werden wir im Folgenden zeigen. Vorlage:Liste Wir haben somit gezeigt, dass die linearen Abbildungen unter den Operationen $⊞$ und $⊡$ einen Ring bilden. Dieser Ring ist NICHT kommutativ, da die Verkettung $⊡$ nicht kommutativ ist, ebenso wie die Matrixmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist. Zum Beispiel gilt für die Abbildungen $f,g:{ℝ}^2\to {ℝ}^2$ mit $f(\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}x\\ 0\end{array}\right)$ und $g(\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}y\\ x\end{array}\right)$, dass $(f⊡g)(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right))=f(\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right))=(\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right))$ aber $(g⊡f)(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right))=g(\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right))=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ und somit $f⊡g\ne g⊡f.$

Ring der reellen Polynome

Ein reelles Polynom ist eine endliche Summe von reellen Vielfachen von Potenzen einer Variablen. Man kann reelle Polynome wie folgt schreiben: $P(x)=\sum _{i=0}^N{a}_i\cdot x^i$ mit Koeffizienten $a_i\in ℝ,N\in {\mathbb{N}}_0$.

Auf der Menge $P$ der reellen Polynome kann man eine Addition und eine Multiplikation definieren. Diese beiden Operaionen verknüpfen ganze Polynome miteinander. Wir setzen

Wobei für $i>N$ bzw. $i>M$ die Konvention $a_i$ bzw. $b_i=0$ getroffen wird.

Zum Beispiel gilt $x^3-2x+5⊞x^2-1=x^3+x^2-2x+(5-1)$ und $x^3-2x+5⊡x^2-1=x^5-3x^3+5x^2+2x-5$

Wir werden im Folgenden zeigen, dass die Menge der reellen Polynome $P$ unter den Verknüpfungen $⊞$ und $⊡$ einen kommutativen Ring bildet.

Nun werden wir noch zeigen, dass auch die Multiplikation $⊡$ die Eigenschaften aus der Definition des Rings erfüllt.

Vorlage:Liste Es folgt, dass die Menge der reellen Polynome $P$ unter den Verknüpfungen $⊞,⊡$ einen kommutativen Ring bildet.