Mathe für Nicht-Freaks: Ableitung höherer Ordnung

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Motivation

Diagramm für Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Ruck eines Objekts. Der Ort ist die türkise Linie. Die Geschwindigkeit (violett) steigt, ist dann zwischen $x=3$ und $x=4$ konstant und fällt dann wieder auf Null ab. Sobald die Geschwindigkeit abfällt, wird die Beschleunigung (grün) negativ. Ein Ruck spielt sich nur in nicht konstant beschleunigten Bereichen ab und ist eine Stufenfunktion. Deshalb ist die Ableitung des Rucks auch Null (bei den Sprungstellen ist die Ableitung nicht definiert).

Die Ableitung $f^{\prime }$ beschreibt die momentane Änderungsrate der Funktion $f$. Nun kann man die abgeleitete Funktion $f^{\prime }$ wieder ableiten, vorausgesetzt, dass diese wieder differenzierbar ist. Die gewonne Ableitung der Ableitung wird zweite Ableitung bzw. Ableitung zweiter Ordnung genannt und mit $f^{″}$ oder $f^{(2)}$ bezeichnet. Dies lässt sich beliebig oft durchführen. Wenn die zweite Ableitung wiederum differenzierbar ist, so erhält man die dritte Ableitung $f^{(3)}$, danach die vierte Ableitung $f^{(4)}$ usw..

Diese höheren Ableitungen gestatten Aussagen über den Verlauf eines Funktionsgraphen. Die zweite Ableitung sagt zum Beispiel aus, ob ein Graph oben gekrümmt („konvex“) oder nach nach unten gekrümmt („konkav“) ist. Bei konvexen Graphen von differenzierbaren Funktionen nimmt seine Steigung kontinuierlich zu. Hierfür ist $f^{″}(x)>0$ eine hinreichende Bedingung. Wenn nämlich die zweite Ableitung stets positiv ist, dann muss die erste Ableitung kontinuierlich wachsen. Analog folgt aus $f^{″}(x)<0$, dass der Graph konkav ist und die Ableitung monoton fällt.

Um die Aussagekraft höherer Ableitungen genauer zu verdeutlichen betrachten wir die Funktion $f:[a,b]\to ℝ$ mit $f(t)=t^3+2$, welche den Ort $f(t)$ eines Autos zum Zeitpunkt $t$ angeben soll. Wir wissen schon, dass wir die Geschwindigkeit des Autos zum Zeitpunkt $t$ mit der ersten Ableitung berechnen können: $f^{\prime }(t)=f^{(1)}(t)=3t^2$. Was sagt nun die Ableitung $f^{″}(t)$ von $f^{\prime }$ aus? Diese ist die momentane Änderungsrate der Geschwindigkeit und damit die Beschleunigung des Autos. Es beschleunigt mit $f^{″}(t)=f^{(2)}(t)=6t$.

Nun kann man diese zweite Ableitung wieder ableiten, wodurch wir die momentane Änderungsrate der Beschleunigung $f^{‴}(t)=f^{(3)}(t)=6$ erhalten. Diese wird in der Fahrdynamik Ruck genannt und sagt aus, wie schnell ein Auto die Beschleunigung erhöht oder wie schnell es die Bremsung einleitet. Ein großer Ruck entsteht zum Beispiel bei einer Notbremsung. Da $f^{(3)}(t)<0$ bei einer Notbremsung ist, ist der Graph der Geschwindigkeit $f^{\prime }$ konvex – die Geschwindigkeit fällt immer stärker. Die vierte Ableitung $f^4(t)=0$ sagt uns wiederum, dass der Ruck keine momentane Änderungsrate hat.

Definition

Die Menge aller $k$-fach stetig differenzierbaren Funktionen mit Definitionsbereich $D$ und Wertebereich $W$ wird mit $C^k(D,W)$ notiert. Insbesondere besteht $C^0(D,W)=C(D,W)$ aus den stetigen Funktionen. Falls wir die Funktion $f$ beliebig oft ableiten können, so schreiben wir $f\in C^{\mathrm{\infty }}(D,W)$. Ist $W=ℝ$, so können wir kürzer $C^k(D)$ beziehungsweise $C^{\mathrm{\infty }}(D)$ schreiben. Es gilt:

Rechenregeln für höhere Ableitungen

Linearität

Die Linearität der Ableitung „vererbt“ sich auch auf höhere Ableitungen: Sind $f$ und $g$ differenzierbar, und $a,b\in ℝ$, so ist bekanntlich auch $af+bg$ differenzierbar mit

Sind nun $f$ und $g$ sogar zweimal differenzierbar, so gilt

Führen wir dies fort, so erhalten wir

Leibniz-Regel für Produktfunktionen Vorlage:Anker

Wir vesuchen nun eine allgemeine Formel für die $n$-te Ableitung der Produktfunktion $fg$ zweier beliebig oft differenzierbarer Funktionen zu $f$ und $g$ zu bestimmen. Durch mehrmaliges anwenden der Faktor-, Summen- und Produktregel erhalten wir für $n=1,2,3$ unmittelbar

Setzen wir $f=x$ und $g=y$, und statt den Ableitungen von $f$ und $g$ die entsprechenden Potenzen von $x$ und $y$, so sehen wir eine eindeutige Analogie zum binomischen Lehrsatz:

Diese Analogie können wir uns allgemein so überlegen:

Wir ordnen für jedes $k\in {\mathbb{N}}_0$ der Ableitung $f^{(k)}$ die Potenz $x^k$, und der Ableitung $g^{(k)}$ die Potenz $y^k$ zu. Dabei entspricht die $0$-te Ableitung $f^{(0)}=f$ der $0$-ten Potenz $x^0=1$. Die Ableitung des Terms $f^{(k)}{g}^{(l)}$ lautet mit der Produktregel

Der Ausdruck $f^{(k+1)}{g}^{(l)}+f^{(k)}{g}^{(l+1)}$ entspricht in unserer Analogie nun der Summe $x^{k+1}{y}^l+x^k{y}^{l+1}$. Diesen Term erhalten wir aus $x^k{y}^l$ durch Multiplikation mit $x+y$. Denn mit dem Distributivgesetz gilt

Also entspricht die Anwendung der Produktregel der Multiplikation mit der Summe $x+y$. Damit wird der $n$-ten Ableitung $(fg{)}^{(n)}$ die Potenz $(x+y{)}^n$ zugeordnet. Aus dem binomischen Lehrsatz

ergibt sich somit

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