MathGymOS/ LGS/ Das Gleichsetzungsverfahren

Aus testwiki
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Gegeben sei folgendes Gleichungssystem:

(1)5⋅x1+3⋅x2=5(2)3⋅x1+1⋅x2=−1

Durch Gleichsetzen der beiden Gleichungen soll eine Variable eliminiert werden. Daher müssen die beiden Gleichungen zunächst nach der selben Variable bzw. dem selben Vielfachen ein und der selben Variable aufgelöst werden. Exemplarisch werden die Gleichungen hier nach 3x2 aufgelöst:

(1)5⋅x1+3⋅x2=5|−5x1(2)3⋅x1+1⋅x2=−1|−3x1

Dies führt zu folgendem modifiziertem, aber immer noch gleichwertigem, Gleichungssystem:

(1)3⋅x2=5−5⋅x1(2)1⋅x2=−1−3⋅x1|⋅3

Das führt zu:

(1*)3⋅x2=5−5⋅x1(2)3⋅x2=−3−9⋅x1

Nun werden beide Gleichungen des Systems gleichgesetzt und somit in eine Gleichung zusammengefasst:

5−5⋅x1=3⋅x2=−3−9⋅x15−5⋅x1=−3−9⋅x1

Anschließend wird nach der verbliebenen Variablen x1 aufgelöst:

5−5⋅x1=−3−9⋅x1|+9x15+4⋅x1=−3|−54⋅x1=−8|:4x1=−2

Der Wert für die erste Variable ist also gefunden, durch Einsetzen des Ergebnisses in eine der aufgelösten Gleichungen und Umstellen nach dem übrig bleibenden Unbekannten erhält man den zweiten gesuchten Wert.

Wir setzen x1=−2 in die Gleichung (1*) ein:

(1*)3⋅x2=5−5⋅x13⋅x2=5+103⋅x2=15|:3x2=5

Die Lösungen lauten also x1=−2 und x2=5.

Vorlage:Navigation zurückhochvor

Abgerufen von „https://de.wikibooks.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=MathGymOS/_LGS/_Das_Gleichsetzungsverfahren&oldid=721“