MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Lage/ Winkel

Winkel zwischen zwei Vektoren

Im Abschnitt über das Skalarprodukt wurden bereits eine Möglichkeit angegeben, den Winkel zwischen zwei Vektoren zu bestimmen. Analytische Geometrie/ Vorlage:Regel Zu beachten ist hierbei, dass das Produkt im Zähler ein Skalarprodukt ist, also $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2+a_3\cdot b_3$, während das Produkt im Nenner ein Produkt zweier Beträge $\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$ und $\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}$ und damit das Produkt zweier Zahlen ist.

Winkel zwischen sich schneidenden Geraden

Der Winkel

$\alpha$

zwischen zwei sich schneidenden Geraden

$g_1:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+s\cdot \overrightarrow{u}(s\in ℝ)$

und

$g_2:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{q}+t\cdot \overrightarrow{v}(t\in ℝ)$

ist der kleinere der beiden Winkel zwischen den Geraden. Dieser hängt eng mit dem Winkel $\phi$ zwischen den Richtungsvektoren der Geraden $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ zusammen.

• Ist $\phi \le 90^{\circ }$, dann ist $\alpha =\phi$.
• Ist $\phi >90^{\circ }$ (wie in der Abb.), dann ist $\alpha =180^{\circ }-\phi$.

Weil $\arccos \left(\left|x\right|\right)=\{\begin{array}{cc}\arccos (x),& \text{wenn }\arccos (x)\le 90^{\circ }\\ 180^{\circ }-\arccos (x),& \text{wenn }\arccos (x)>90^{\circ }\end{array}$ ist gilt:

Analytische Geometrie/ Vorlage:Regel Beachte: Die Betragszeichen im Zähler beziehen sich auf den Betrag einer Zahl, nämlich des Skalarproduktes $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$, während die Betragszeichen im Nenner sich auf den Betrag von Vektoren, nämlich $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v}$ beziehen.

Winkel zwischen einer Gerade und einer Ebene, die sich schneiden

Der Winkel

$\alpha$

zwischen einer Ebene

$E:\overrightarrow{x}\cdot \overrightarrow{n}=c$

und einer Geraden, die selbige schneidet

$g:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+t\cdot \overrightarrow{v}(t\in ℝ)$

hängt eng mit dem Winkel $\phi$ zwischen dem Normalenvektor $\overrightarrow{n}$ und dem Richtungsvektor der Geraden $\overrightarrow{v}$ zusammen.

• Ist $\phi <90^{\circ }$ (wie in der Abb.), dann ist $\alpha =90^{\circ }-\phi$.
• Ist $\phi >90^{\circ }$, dann ist $\alpha =\phi -90^{\circ }$.

Also gilt Analytische Geometrie/ Vorlage:Regel

MathGymOSVorlage/ Beweis

Winkel zwischen zwei sich schneidenden Ebenen

Der Winkel

$\alpha$

zwischen zwei sich schneidenden Ebenen

$E_1:\overrightarrow{x}\cdot {\overrightarrow{n}}_1=c_1$

und

$E_2:\overrightarrow{x}\cdot {\overrightarrow{n}}_2=c_2$

hängt folgendermaßen von dem Winkel $\phi$ zwischen den Normalenvektoren der Ebenen ${\overrightarrow{n}}_1$ und ${\overrightarrow{n}}_2$ zusammen.

• Ist $\phi \le 90^{\circ }$, dann ist $\alpha =\phi$.
• Ist $\phi >90^{\circ }$ (wie in der Abb.), dann ist $\alpha =180^{\circ }-\phi$.

Damit gilt ähnlich wie beim Schnittwinkel von Geraden Analytische Geometrie/ Vorlage:Regel

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