MathGymOS/ Analytische Geometrie/ Geraden und Ebenen/ Geraden

Ursprungsgeraden

Im Abschnitt zur Multiplikation mit Skalaren wurde in einem Beispiel die Ursprungsgerade durch den Punkt $P(3|-9)$ bzw. $Q(2|-6)$ betrachtet. Es wurde festgestellt, dass die beiden Geraden identisch waren. Dies liegt daran, dass die Ortsvektoren von P und Q kollinear sind. Allgemein gilt, dass alle Punkte, deren Ortsvektoren kollinear sind, auf ein und derselben Ursprungsgeraden liegen.

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Parameterform allgemeiner Geraden

Eine Gerade, die nicht durch den Koordinatenursprung verläuft, lässt sich durch eine Verschiebung aus einer Ursprungsgerade konstruieren. Aus einer Ursprungsgeraden

$g_0:\overrightarrow{x}=t\cdot \overrightarrow{u}(t\in ℝ)$

ergibt sich eine andere Gerade

$g_1:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{p}+t\cdot \overrightarrow{u}(t\in ℝ)$

die parallel zur Ursprungsgeraden ist und durch den Punkt mit Ortsvektor $\overrightarrow{p}$ verläuft.

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Von zwei Punkten zur Gerade

Es soll eine Parameterform der Geraden g durch die Punkte $A(a_1|a_2|a_3)$ und $B(b_1|b_2|b_3)$ gefunden werde.

Als Stützvektor können z.B. die Ortsvektoren von A und B dienen $\overrightarrow{p}=\overrightarrow{OA}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)$.

Die Verbindungsvektoren zwischen A und B sind mögliche Richtungsvektoren $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}{b}_1-a_1\\ b_2-a_2\\ b_3-a_3\end{array}\right)$

$\Rightarrow g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{a}_1\\ a_2\\ a_3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}{b}_1-a_1\\ b_2-a_2\\ b_3-a_3\end{array}\right)(t\in ℝ)$

Punktprobe

Es soll geprüft werden, ob der Punkt $Q(q_1|q_2|q_3)$ auf der Geraden mit folgender Parameterform liegt:

$g:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{p}_1\\ p_2\\ p_3\end{array}\right)+t\cdot \left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ u_3\end{array}\right)(t\in ℝ)$.

Die Vektorgleichung $\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{p}+t\cdot \overrightarrow{u}$ führt zu den drei Gleichungen:

$\begin{array}{ccccc}{q}_1& =& p_1& +& u_1\cdot t\\ q_2& =& p_2& +& u_2\cdot t\\ q_3& =& p_3& +& u_3\cdot t\end{array}$

Führen alle drei Gleichungen zur selben Lösung für t, so liegt Q auf g, sonst nicht.

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