MathGymOS/ Analysis/ Taylorreihen

In der Analysis werden Taylorreihen verwendet, um Funktionen in der Nähe eines bestimmten Punktes zu entwickeln. Durch Taylorreihen lassen sich viele Funktionen als Potenzreihen, also durch Reihen der Form

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(x-x_0{)}^n=(x-x_0)+(x-x_0{)}^2+\dots +(x-x_0{)}^n+\dots$

darstellen. Aber auf welche Weise wird dies bewerkstelligt? Wir wollen das am Beispiel der Sinus-Funktion herausfinden. Eine erste Annäherung besteht darin, eine Tangente durch den Nullpunkt an die Kurve zu legen.

Bis jetzt haben wir die Kurve also durch ein Polynom der Form

$p_1(x)=a_0+a_{1}x$

angenähert. Um die Koeffizienten $a_0$ und $a_1$ herauszufinden, berechnen wir $p_1(x)$ an der Stelle Null:

$p_1(0)=a_0+a_1\cdot 0=\sin (0)=0\Rightarrow a_0=0$

Den Koeffizienten $a_1$ finden wir hingegen durch Ableiten.

$p{\text{'}}_1(0)=a_1=[\sin (0){]}^{\prime }=\cos (0)=1\Rightarrow a_1=1$

Wenn wir nun die Koeffizienten wieder in den Ansatz $p_1(x)=a_0+a_{1}x$ einfügen, erhalten wir $p_1(x)=x$, also genau die Tangente aus dem ersten Bild. Dies mag trivial erscheinen, aber jetzt wissen wir, wie wir vorgehen müssen, um bessere Näherungen zu erhalten. Als nächstes wollen wir den Ansatz $p_3(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3$ untersuchen. Dabei gehen wir genau gleich vor, wie bei $p_1(x)$.

$p_3(0)=\sin (0)\Rightarrow a_0=0$

$p{\text{'}}_3(0)=a_1+2\cdot a_2\cdot 0+3\cdot a_3\cdot 0=[\sin (0){]}^{\prime }=\cos (0)=1\Rightarrow a_1=1$

$p^{\prime }{\text{'}}_3(0)=2\cdot a_2+6\cdot a_3\cdot 0=[\sin (0){]}^{″}=-\sin (0)=0\Rightarrow a_2=0$

$p^{″}{\text{'}}_3(0)=6\cdot a_3=[\sin (0){]}^{‴}=-\cos (0)=-1\Rightarrow a_3=-\frac{1}{6}$

Durch Einsetzen der Koeffizientenwerte in den Ansatz erhalten wir

$p_3(x)=x-\frac{1}{6}{x}^3$.

Wenn wir diese Funktion zeichnen lassen, sehen wir, dass die Sinuskurve schon besser angenähert wird.

Je höher der Grad des Polynoms wird, desto besser können wir die Kurve annähern. Also sollten wir versuchen, ein Muster im Verfahren zu finden, um schliesslich die Taylorreihe des Sinus daraus herzuleiten. In einer Tabelle können wir die Ableitungen des Sinus und die Ableitungen das Polynoms gegenüberstellen:

Grad / Ableitung	n-te Ableitung des Sinus	Wert an der Stelle x=0	Polynom n-ten Grades	n-te Ableitung des Polynoms
$0$	$\sin (x)$	$0$	$a_0$	$0$
$1$	$\cos (x)$	$1$	$a_0+x{a}_1$	$a_1$
$2$	$-\sin (x)$	$0$	$a_0+a_{1}x+a_2{x}^2$	$2a_2$
$3$	$-\cos (x)$	$-1$	$a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3$	$6a_3$
$4$	$\sin (x)$	$0$	$a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4$	$24a_4$
$5$	$\cos (x)$	$1$	$a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+a_5{x}^5$	$120a_5$
$n$	$\frac{d^n}{d{x}^n}\sin (x)$	$-1,0oder1$	$\sum _{i=0}^n{a}_i{x}^i$	$n!a_n$

In unseren ersten Annäherungen zu Beginn des Kapitels haben wir stets die n-te Ableitung des Polynoms der n-ten Ableitung des Sinus gleichgesetzt, um die Koeffizienten herauszufinden. Aus obiger Tabellen können wir also folgendes ablesen:

$a_0=0$

$a_1=1$

$a_2=0$

$a_3=-\frac{1}{6}=-\frac{1}{3!}$

$a_4=0$

$a_5=\frac{1}{120}=\frac{1}{5!}$

Das sind also die Koeffizienten für ein Polynom 5. Grades. Setzen wir diese Koeffizienten in den Ansatz ein und beachten die Informationen aus der Tabelle, so können wir die Reihe herleiten:

$p_5(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+a_5{x}^5=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}$

Aus der Tabelle wissen wir, dass im Exponenten nur ungerade Zahlen stehen und das die Vorzeichen alternieren, also sich immer abwechseln. Im Nenner der Koeffizienten stehen immer die gleichen Zahlen wie im Exponenten, allerdings mit einer Fakultät (zur Erinnerung: $5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5$). Diese Überlegungen erlauben es uns, die Reihe fortzusetzen ohne irgendetwas auszurechnen:

$x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!}+\frac{x^{13}}{13!}-\dots$

Diese Reihe kann man auch kompakter hinschreiben:

$\sin (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

Durch diese Summe werden alle Informationen (die wir verwendet haben, um die ersten paar Terme der Reihe herauszufinden) zusammengefasst. Das $(-1{)}^n$ bewirkt das alternierende Vorzeichen. Für gerade $n$ ist das Vorzeiche positiv und für ungerade $n$ negativ. Der Exponent $2n+1$ ist stets eine ungerade Zahl, wie man sich leicht überlegen kann: Wenn wir eine Zahl mit 2 multiplizieren, erhalten wir eine gerade Zahl. Zählen wir noch 1 hinzu wird die Zahl ungerade. Im Nenner steht der gleiche Term wie im Exponenten, genau so wie wir das vorhin festgehalten haben. Die Formel ist so also richtig und völlig einleuchtend.

Um die Potenzreihe des Sinus zu berechnen, haben wir eine Tabelle aufgestellt und uns anschließend Gedanken gemacht, wie die Reihe wohl fortzusetzen ist. Praktischer wäre es aber, ein etwas allgemeineres Verfahren zu haben. Der Ansatz steht in der letzten Zeile der Tabelle. Daraus können wir ablesen, dass die n-te Ableitung der Potenzreihe $n!a_n$ ist. Die n-te Ableitung des Sinus kann man hingegen nicht so ohne Weiteres angeben. Das ist aber auch gar nicht nötig, denn es genügt zu wissen, dass wir die n-te Ableitung des Sinus durch $n!$ teilen müssen, um das $a_n$ zu erhalten. Der allgemeinere Weg lautet also

$\sin (x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{d^n\sin (x)}{d{x}^n}\frac{x^n}{n!}$