MathGymOS/ Analysis/ Komplexe Zahlen/ Gleichungen 3. Grades

Wir haben uns ziemlich lange mit den Grundlagen herumgeschlagen und möchten nun eine Anwendung der komplexen Zahlen kennen lernen. Allerdings ist dieses Thema relativ anspruchsvoll zu Beginn. Und was wir gleich kennen lernen werden kommt heutzutage kaum noch zum Einsatz. Dank dem Computer können kubische Gleichungen durch numerische Verfahren wie der Bisektion sehr schnell und effektiv gelöst werden. Dennoch übt das nachfolgende Thema einen gewissen Reiz auf manche Personen aus.

Wir kennen die Lösungsformel für quadratische Gleichungen:

$a{x}^2+bx+c=0\Rightarrow x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Eine solche Lösungsformel existiert ebenfalls für Gleichungen 3. und 4. Grades (mit Methoden der Algebra lässt sich beweisen, dass es keine Lösungsformel für Gleichungen mit höhrem Grad als vier gibt). In diesem Kapitel wollen wir uns auf Gleichungen 3. Grades beschränken und die so genannte Cardanische Formel herleiten.

Die allgemeine kubische Gleichung in Normalform lautet

$x^3+a{x}^2+bx+c=0(a,b,c\in ℝ).$

Als ersten Schritt formen wir die Gleichung so um, dass das quadratische Glied weg fällt. Hierfür setzen wir $x=z-x_0$ (was im Moment noch nicht einleuchtend erscheint):

$(z-x_0{)}^3+a\cdot (z-x_0{)}^2+b\cdot (z-x_0)+c=0$

$z^3-3\cdot z^2\cdot x_0+3\cdot z\cdot x_0^2-x_0^2+a\cdot (z^2-2\cdot z\cdot x_0+x_0^2)+b\cdot z-b\cdot x_0+c=0$

$z^3+z^2\cdot (a-3\cdot x_0)+z\cdot (3\cdot x_0^2-2\cdot a\cdot x_0+b)-x_0^3-b\cdot x_0+c+a\cdot x_0^2=0$

Wie weiter oben schon gesagt, soll der quadratische Teil ($z^2$) weg fallen. Dazu muss die Klammer Null werden:

$a-3\cdot x_0\Rightarrow x_0=a/3$

Die letzte Zeile sieht also jetzt so aus:

$z^3+z\cdot (3\cdot \frac{a^2}{9}-2\cdot a\cdot \frac{a}{3}+b)-\frac{a^3}{27}-b\cdot \frac{a}{3}+a\cdot \frac{a^2}{9}+c=0$

An dieser Stelle werden nochmals zwei Abkürzungen eingeführt:

$p=b-\frac{1}{3}\cdot a^3$

$q=\frac{2}{27}\cdot a^3-\frac{1}{3}\cdot a\cdot b+c$

Und dadurch erhalten wir eine neue Form:

$z^3+p\cdot z+q=0$

Aber auch diese neue Form behalten wir nicht lange bei. Wir zerlegen nämlich die Variable $z$ in zwei Summanden $u$ und $v$:

$z=u+v$

$u^3+3\cdot u^2\cdot v+3\cdot u\cdot v^2+v^3+p\cdot u+p\cdot v+q=0$

$u^3+v^3+q+3\cdot u\cdot v\cdot (u+v)+p\cdot (u+v)=0$

$u^3+v^3+q+(3\cdot u\cdot v+p)\cdot (u+v)=0$

Als nächstes wählen wir $u$ und $v$ so, dass $3\cdot u\cdot v+p=0$ und erhalten dadurch folgendes Gleichungssystem:

$u^3+v^3+q=0$

$3\cdot u\cdot v+p=0$

Aus der zweiten Zeile erhalten wir

$u=-\frac{p}{3v}$

Durch einsetzen in die erste Zeile folgt

$-\frac{p^3}{27\cdot v^3}+v^3=-q$

$-\frac{p^3}{27}+v^6=-q\cdot v^3$

$v^6+q\cdot v^3=\frac{p^3}{27}$

An dieser Stelle müssen wir erneut eine Abkürzung einführen um die Gleichung zu lösen.

$v^3=s$

$s^2+q\cdot s=\frac{p^3}{27}$

Jetzt können wir die Lösungsformel für quadratische Gleichungen anwenden und erhalten dadurch $s$. Durch Ziehen der 3. Wurzel finden wir $v$.

$s=\frac{-q\pm \sqrt{q^2+4\cdot \frac{p^3}{27}}}{2}=-\frac{q}{2}\pm \sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}$

$v=\sqrt[3]{s}=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\pm \sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$

Für $u$ haben wir vorher $-\frac{p}{3v}$ gefunden. Da wir nun das v kenne, können wir auch das $u$ bestimmen. Die Rechnung ist allerdings sehr aufwendig und deshalb folgt an dieser Stelle kein Rechnungsweg sondern gleich die Lösung:

$u=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}\mp \sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$

Aus Gründen die wir nicht besprochen haben und kompliziert sind können wir auch das $\pm$ beziehungsweise das$\mp$ vor den Wurzeln genau bestimmen. Endlich erhalten wir die erste Lösung für $z$:

$z_1=u_1+v_1=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}}$

Wir müssen beachten, dass die innere Wurzel ein komplexes Ergebnis hervorbringen kann und somit würde man schliesslich die 3. Wurzel einer komplexen Zahl ziehen. Daher können wir für $u$ und $v$ noch zwei weitere Lösungen notieren, wenn wir die Ergebnisse aus dem vorhergehenden Kapitel verwenden. Zur Erinnerung:

$z^n=r\cdot \mathrm{cis}(\phi )\Rightarrow z_k=\sqrt[n]{r}\cdot \mathrm{cis}(\frac{\phi }{n}+\frac{360^{\circ }}{n}\cdot k)$

Dieses Ergebnis können wir auch anders schreiben wenn wir die Lösung $z_0$ kennen:

$z_0=\sqrt[n]{r}\cdot \mathrm{cis}(\frac{\phi }{n})\Rightarrow z_k=z_0\cdot \mathrm{cis}(\frac{360^{\circ }}{n}\cdot k)$

Für unsere Rechnung mit dem $u$ und $v$ erhalten wir dadurch

$u_2=u_1\cdot \mathrm{cis}(\frac{360^{\circ }}{3}\cdot 1)=u_1\cdot \mathrm{cis}(120^{\circ })$

$u_3=u_1\cdot \mathrm{cis}(\frac{360^{\circ }}{3}\cdot 2)=u_1\cdot \mathrm{cis}(240^{\circ })$

Und analog erhalten wir für $v$

$v_2=v_1\cdot \mathrm{cis}(120^{\circ })$

$v_3=v_1\cdot \mathrm{cis}(240^{\circ })$

Jetzt müssen wir uns nur noch überlegen, wie wir diese Lösungen richtig miteinander kombinieren um die richtige Lösungen für $z$ zu erhalten. Bedenkt man, dass $u$ und $v$ die Gleichung $3uv=-p$ erfüllen müssen, erkennt man, dass sich die Argumente zu 360° addieren müssen. Wir können also

$z_2=u_1\cdot \mathrm{cis}(120^{\circ })+v_1\cdot \mathrm{cis}(240^{\circ })$

und

$z_3=u_1\cdot \mathrm{cis}(240^{\circ })+v_1\cdot \mathrm{cis}(120^{\circ })$

als weitere Lösungen von $z$ notieren. Wir sind jetzt schon beinahe am Ziel. Nur ein kleines Detail muss noch bedacht werden: Die Lösungen der kubischen Gleichung heissen nicht $z$ sondern $x$. Zwischen diesen beiden Variablen besteht jedoch ein Zusammenhang, den wir ganz zu Beginn benutzt haben:

$x_k=z_k-x_0=z_k-\frac{a}{3}k=1,2,3$

Alles was wir bisher hergeleitet haben mag etwas undurchsichtig und schwierig erscheinen, doch ein kleines Beispiel ist bestimmt hilfreich:

$x^3-3x^2+9x-5=0$

$p=b-\frac{a^2}{3}=9-\frac{(-3{)}^2}{3}=6q=\frac{2}{27}\cdot a^3-\frac{1}{3}\cdot a\cdot b+c=\frac{2}{27}\cdot (-3{)}^3-\frac{1}{3}\cdot (-3)\cdot 9+(-5)=2$

$u_1=\sqrt[3]{-\frac{2}{2}+\sqrt{\frac{2^2}{4}+\frac{6^3}{27}}}=\sqrt[3]{-1+\sqrt{1+8}}=\sqrt[3]{-1+3}=\sqrt[3]{2}$

$v_1=\sqrt[3]{-\frac{2}{2}-\sqrt{\frac{2^2}{4}+\frac{6^3}{27}}}=\sqrt[3]{-1-\sqrt{1+8}}=\sqrt[3]{-1-3}=-\sqrt[3]{4}$

$z_1=u_1+v_1=\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}$

$x_1=z_1-\frac{a}{3}=1+\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}\approx 0.67252$

$z_2=u_1\cdot \mathrm{cis}(120^{\circ })+v_1\cdot \mathrm{cis}(240^{\circ })=\sqrt[3]{2}\cdot (-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i})-\sqrt[3]{4}\cdot (-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i})=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}-\frac{\sqrt[3]{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}\cdot (\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2})}{2}\mathrm{i}$

$x_2=z_2-x_0=1+\frac{\sqrt[3]{4}}{2}-\frac{\sqrt[3]{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}\cdot (\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2})}{2}\mathrm{i}\approx 1.16374+2.46585\cdot \mathrm{i}$

$z_3=u_1\cdot \mathrm{cis}(240^{\circ })+v_1\cdot \mathrm{cis}(120^{\circ })=\sqrt[3]{2}\cdot (-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i})-\sqrt[3]{4}\cdot (-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i})=\frac{\sqrt[3]{4}}{2}-\frac{\sqrt[3]{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}\cdot (\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2})}{2}\mathrm{i}$

$x_3=z_3-x_0=1+\frac{\sqrt[3]{4}}{2}-\frac{\sqrt[3]{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}\cdot (\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2})}{2}\mathrm{i}\approx 1.16374-2.46585\cdot \mathrm{i}$

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