MathGymOS/ Analysis/ Folgen und Reihen/ Konvergenz und Divergenz von Reihen
Reihen im Vergleich zu Folgen
Wir haben eine Reihe als Folge von Partialsummen definiert. Eine Reihe ist also im Grunde eine Folge. Dementsprechend gelten natürlich alle Konvergenzbedingungen, die wir für Folgen hergeleitet haben, auch für Reihen. Insbesondere das Monotoniekriterium kann häufig nützlich sein, da eine Reihe mit positiven Koeffizienten stets monoton steigend ist und eine Reihe mit negativen Koeffizienten stets monoton fallend.
notwendiges Konvergenzkriterium
Eine erstaunlich große Zahl von Reihen lässt sich bereits mit dem notwendigen Konvergenzkriterium für Reihen behandeln. Dieses besagt:
Wenn die Folge der Koeffizienten der Reihe keine Nullfolge ist, so divergiert die Reihe.
Der Umkehrschluss, dass die Reihe dann notwendigerweise konvergiert ist nicht gültig, daher der Name notwendiges Konvergenzkriterium: Ist dieses Kriterium nicht erfüllt, so kann die Reihe nicht konvergent sein, ist es erfüllt, muss sie dennoch nicht notwenigerweise konvergent sein.
absolute Konvergenz
Bei Reihen gibt es neben dem herkömmlichen Konvergenzbegriff noch den Begriff der absoluten Konvergenz:
Eine Reihe ist genau dann absolut konvergent, wenn die Reihe konvergent ist.
Man vernachlässigt also lapidar gesagt für die absolute Konvergenz die Vorzeichen der Koeffizienten. Das ergibt den Vorteil, dass die neue Reihe in jedem Fall monoton steigend ist. Zusätzlich ist die absolute Konvergenz ein viel stärkeres Kriterium. So folgt aus der absoluten Konvergenz auch stets die einfache Konvergenz - umgekehrt ist das aber nicht der Fall.
Es gibt eine Reihe von Kriterien, um die absolute Konvergenz von Reihen zu untersuchen (Wurzelkriterium, Quotientenkriterium, Majoranten- und Minorantenkriterium), die aber hier den Rahmen sprengen würden.
weiterführendes Beispiel: die harmonische Reihe
Damit beschließen wir das Kapitel über Folgen und Reihen für die Schule.