MathGymOS/ Analysis/ Folgen und Reihen/ Konvergenz und Divergenz von Folgen

Anschauliche Erklärung von Konvergenz

Dieser Abschnitt handelt davon, wann und ob eine Folge "konvergiert". Damit ist gemeint, ob diese Folge sich irgendeinem speziellen Wert nähert, wenn man den Index beliebig erhöht, und diesen Wert quasi erreicht. Schauen wir uns dazu zunächst drei Beispiele an. Im Grunde handelt es sich also um das Verhalten "im Unendlichen". Alles was vorher passiert, ist dann quasi irrelevant. MathGymOSVorlage/ Beispiel

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Epsilon-Kriterium für Konvergenz

Nun betrachten wir das abstrakte Konvergenzkriterium für Folgen, auch das "Epsilon-Kriterium für Konvergenz" genannt. Es gilt:

Eine Folge ist genau dann konvergent gegen eine Zahl $a$, wenn es für jedes $\epsilon >0$ (wobei $\epsilon \in ℝ$ gilt) einen Index $n_0$ gibt, sodass für alle Folgenglieder $a_n$ mit $n\ge n_0$ gilt: $|a_n-a|<\epsilon$.

Anders formuliert bedeuted dies: Wenn ein Epsilon gegeben ist (nützlicherweise sollte dies möglichst nahe an Null liegen), dann kann man einen Index finden, sodass von da an jedes Folgenglied einen Abstand vom Grenzwert hat, der kleiner ist als Epsilon.

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An unserem Beispiel sollte nun einigermaßen klar geworden sein, wie man mit dem relativ abstrakten Epsilon-Kriterium umzugehen hat.

Aus Monotonie und Beschränktheit folgt Konvergenz

Bei unserem Beispiel oben sind wir aber bereits auf ein Problem gestoßen: Wir mussten, um die Rechnung überhaupt durchführen zu können, den Grenzwert kennen. In den meisten Fällen ist dieser aber nicht bekannt. Häufig ist es auch nicht wichtig, wie genau der Grenzwert aussieht, uns interessiert nur, ob es überhaupt einen Grenzwert gibt. Daher gibt es verschiedene Kriterien, wie man an Grenzwerte herangehen kann. Im Folgenden betrachten wir beispielhaft das (nur für Folgen reeller Zahlen gültige) Kriterium von Monotonie und Beschränktheit. Alles weitere ist für die Schule nur am Rande interessant.

Definition Monotonie

Eine Folge heißt genau dann monoton, wenn für alle $a_n$ der Folge gilt: $a_{n+1}\ge a_n$ (monoton steigend) oder $a_{n+1}\le a_n$ (monoton fallend).

Eine Folge heißt genau dann streng monoton, wenn zudem immer gilt: $a_{n+1}>a_n$ (streng monoton steigend) oder $a_{n+1}<a_n$ (streng monoton fallend).

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Definition Beschränkheit

Eine Folge heißt nach unten beschränkt wenn man eine Zahl $r\in ℝ$ finden kann, sodass $a_n\ge r$ für alle möglichen Folgenglieder gilt. Gibt es eine Zahl $R\in ℝ$ mit $R\ge a_n$ für alle Folgenglieder, dann heißt die Folge nach oben beschränkt. Gelten beide Fälle, so heißt die Folge einfach beschränkt.

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Konvergenz

Es ist nun möglich zu zeigen, dass jede Folge, die monoton und beschränkt ist, auch konvergent ist. Anschaulich sollte dies an unserem Beispiel klar sein.

Damit wollen wir es auch belassen und uns nun nur noch kurz der Konvergenz von Reihen zuwenden.

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