MathGymOS/ Analysis/ Epsilon-Delta-Definitionen von Grenzwert und Stetigkeit/ Stetigkeit von Funktionen

Stetigkeit und Unstetigkeit anschaulich

Stetigkeit ist eine wichtige Funktionseigenschaft, ohne die zum Beispiel die Differentiation nicht möglich ist. Anschaulich bedeuted Stetigkeit, dass man, wenn man die Umgebung eines Punktes kennt, auch etwas über den Punkt selbst aussagen kann und diese Aussagen richtig sind - es gibt also kein unerwartetes Verhalten in diesem Punkt.

Ein einfaches, anschauliches Stetigkeitskriterium ist das Bleistiftkriterium. Es sagt, dass eine Funktion dann stetig ist, wenn man sie ohne mit dem Stift abzusetzen durchzeichnen kann. In den allermeisten Fällen ist die Funktion dann tatsächlich stetig - und in den für die Schule relevanten Fällen ohnehin.

Definition: Stetigkeit in einem Punkt

Eine reelle Funktion $f$ ist im Punkt $x_0$ genau dann stetig, wenn ihr Grenzwert in diesem Punkt existiert und (sofern berechenbar) gleich dem Funktionswert an dieser Stelle ist. Das heißt:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$

Damit gilt für die Stetigkeit also auch das im vorherigen Kapitel definierte $\epsilon$-$\delta$-Kriterium.

Links- und rechtsseitiger Grenzwert

Betrachten wir insbesondere reelle Funktionen, so gibt es auch ein alternatives Kriterium. Es gilt: Eine Funktion $f$ ist in einem Punkt $x_0$ genau dann stetig, wenn der links- und rechtsseitige Grenzwert in diesem Punkt mit dem Funktionswert übereinstimmen.

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Definition: Stetigkeit von Funktionen

Oben hatten wir uns bereits überlegt, was Stetigkeit von Funktionen bedeutet. Die Definition sagt uns nun, dass eine Funktion in einem Intervall $I$ stetig ist, wenn sie in allen Punkten des Intervalls stetig ist.

Wenn man dies mit Hilfe der Definition (Epsilon-Delta-Stetigkeit) berechnen will, so hält man den Punkt variabel und zeigt, dass man trotzdem immer ein geeignetes Delta finden kann.

Stetig ergänzbare Funktionen und Beispiele

Manche Funktionen sind nur an ganz wenigen Stellen in ihrem Definitionsbereich unstetig.

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Es bleibt anzumerken, dass eine Funktion in ihrem Definitionsbereich beliebig viele Unstetigkeitsstellen haben kann. Da solche Funktionen auch helfen können, sich einen Überblick über den Begriff der Stetigkeit zu verschaffen, wollen wir hier das wahrscheinlich bekannteste Beispiel ohne Beweis angeben:

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Eine weitere Klasse von Funktionen, deren Betrachtung nützlich ist, ist diejenige der Funktionen mit nur wenigen Definitionslücken. Ein klassisches Beispiel ist die Funktion $f(x)=\frac{1}{x}$. An der Stelle $x=0$ ist diese Funktion bekanntermaßen nicht definiert. Die Frage ist nun, ob man eine solche Funktion so erweitern kann, dass sie dann stetig ist. Das kann beispielsweise helfen, wenn man die Funktion ableiten möchte. Hierzu teilt man die Definitionslücken in vier verschiedene Klassen ein, für die wir jeweils ein Beispiel betrachten wollen:

• (hebbare) Lücke
• Sprungstelle
• Polstelle
• Oszillationsstelle

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