MathGymOS/ Analysis/ Differentialrechnung/ Differenzenquotient

Datei:Differentenquotient.png

Will man die Steigung einer Funktion in einem Punkt, also die Vorlage:Wnsteigung, wissen, kann man damit beginnen, als grobe Näherung die Steigung zwischen zwei Punkten, also die Vorlage:Wnsteigung zu berechnen.

Wenn man sich z. B. ständig die zurückgelegte Wegstrecke eines Autos notiert und die Werte dann in einen Graphen einzeichnet, wäre die Sekantensteigung zwischen zwei Punkten die Durchschnittsgeschwindigkeit, die Tangentensteigung aber die Momentangeschwindigkeit.

Um die Sekantensteigung zu berechnen, sucht man sich zunächst zwei Punkte $P_1,P_2$ aus und verbindet sie mit einer Geraden. Die Steigung $m$ dieser Geraden, also der Vorlage:W des Steigungswinkels, lässt sich mit Hilfe eines Steigungsdreiecks berechnen.

$m=\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{f(x_0+ϵ)-f(x_0)}{(x_0+ϵ)-x_0}$

Die Steigung der blauen Sekante im Bild beträgt also $\frac{3}{2}$. Wir sehen, dass die Steigung der Sekanten ein Quotient von Differenzen, also ein Differenzenquotient, ist.

Eigentlich wollen wir die Steigung im Punkt $P_1$ bestimmen. Offensichtlich ist es also sinnvoll $ϵ$ möglichst klein zu wählen, damit man eine hohe Genauigkeit erreicht. Wenn man $ϵ$ gegen 0 streben lässt, kommt man vom Differenzenquotienten zum Differentialquotienten