Komplexe Zahlen/ Definition und Grundrechenarten

In diesem Kapitel werden – ausgehend von der Lösbarkeit quadratischer Gleichungen – die komplexen Zahlen eingeführt.

Definitionen

Betrachten wir nochmals die Einführung der irrationalen Zahlen über die folgende quadratische Gleichung: Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel

Zu ihrer Lösung wurde das Wurzelsymbol eingeführt, das wie eine Variable eingesetzt werden kann. Der exakte Wert von $\sqrt{2}$ ist zwar nicht bekannt, aber wir wissen, dass $(\sqrt{2}{)}^2$ genau gleich 2 ist.

In ähnlicher Weise führen wir eine Lösung für diese quadratische Gleichung ein: Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel Wir definieren ein Zeichen, dessen Wert wir zwar nicht kennen, von dem wir aber wissen, dass sein Quadrat gleich –1 ist. Dieses Symbol heißt imaginäre Einheit i.

Die imaginäre Einheit soll den Charakter einer Zahl haben. Wir müssen deshalb untersuchen, ob wir brauchbare, widerspruchsfreie Ergebnisse erhalten, wenn wir auf diese „Zahl“ die bekannten Rechengesetze für reelle Zahlen anwenden. Beim Rechnen mit dieser Zahl wird überall ihr Quadrat durch –1 ersetzt.

Zunächst erhalten wir die Lösungen der obigen quadratischen Gleichung: Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel

Fügt man die Zahl i den reellen Zahlen hinzu, dann entsteht beim Rechnen eine ganze Menge neuer Zahlen, z. B.: Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel

Die allgemeine Form dieser Zahlen führt uns zum Begriff der komplexen Zahlen (in der algebraischen Schreibweise):

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition Im Falle von $b=0$ erhält man die reellen Zahlen. Die Zahlen mit $a=0$ heißen imaginäre Zahlen, manchmal spricht man auch von rein-imaginären Zahlen.

Aus praktischen Gründen folgen zwei weitere Begriffe: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition Mit konjugiert-komplexen Zahlen befassen wir uns im Abschnitt Division.

Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition Mit dem Betrag befassen wir uns im Kapitel Darstellungsformen. Im Abschnitt zur Division steht, wie der Betrag schnell errechnet werden kann.

Rechenregeln

Mit diesen Definitionen soll jetzt gezeigt werden, dass die „üblichen“ Rechenregeln der reellen Zahlen widerspruchsfrei auf die komplexen Zahlen übertragen werden können. Weil es sich um eine Erweiterung der reellen Zahlen handelt, müssen jedenfalls für $b=0$ alle Regeln der reellen Zahlen – siehe unten im Abschnitt Hinweise – unverändert gelten.

• Die Zahl 0 – also $0+0\cdot \mathrm{i}$ – muss das neutrale Element der Addition sein.
• Die Zahl 1 – also $1+0\cdot \mathrm{i}$ – muss das neutrale Element der Multiplikation sein.
• Zu jeder Zahl $a$ – also $a+0\cdot \mathrm{i}$ – gibt es ein inverses Element der Addition.
• Zu jeder Zahl $a\ne 0$ – also $a+0\cdot \mathrm{i}$ – gibt es ein inverses Element der Multiplikation.
• Es gelten die Gesetze für Addition und Multiplikation, also Kommutativgesetze, Assoziativgesetze und Distributivgesetz.

Dabei werden folgende Bezeichnungen verwendet:

• $z_1=a_1+b_1\cdot \mathrm{i}$
• $z_2=a_2+b_2\cdot \mathrm{i}$
• 0 und 1 werden wahlweise als reelle Zahl oder als komplexe Zahl mit $\mathrm{Im}(z)=0$ behandelt; die Bedeutung ergibt sich immer aus dem Zusammenhang.

Addition und Subtraktion

Beide Operationen werden mithilfe der Operationen bei den reellen Zahlen definiert: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition Wenn man es ganz genau nimmt, muss für die Subtraktion zunächst das inverse Element bestimmt werden, indem die Vorzeichen für Realteil und Imaginärteil geändert werden; anschließend wird gezeigt, dass diese Definition den geforderten Bedingungen entspricht.

Damit sind Addition und Subtraktion auf die entsprechenden Operationen der reellen Zahlen zurückgeführt. Offensichtlich gelten also Kommutativ- und Assoziativgesetz.

Multiplikation

Dafür setzen wir einfach die üblichen Klammerregeln ein und beachten bei der letzten Umwandlung die Definition von i bzw. i²: Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel Diese Umrechnung verwenden wir zur Definition: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition

Durch einfaches Nachrechnen ergibt sich schnell, dass mit dieser Definition die reelle 1 auch das neutrale Element der komplexen Multiplikation ist und das Kommutativgesetz gilt. Genauso (wenn auch langwieriger und langweiliger) wird das Assoziativgesetz bestätigt.

Division

Dafür benötigen wir noch Vorbemerkungen. Berechnen wir (wie angekündigt) den Betrag:

Daraus ergibt sich unmittelbar: Das Produkt aus einer komplexen Zahl und der dazu konjugiert-komplexen Zahl ist reell. Für den Fall $z\ne 0$ (also mit $a\ne 0$ oder $b\ne 0$) ist das Produkt positiv.

Ähnlich wie bei der Multiplikation können wir damit die Division einführen. Als „Trick“ erweitern wir bei der ersten Umrechnung den Bruch mit der konjugiert-komplexen Zahl und benutzen bei der zweiten Umrechnung das Quadrat des Betrags: Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel

Wenn wir als Zähler die Zahl $1=1+0\mathrm{i}$ einsetzen, können wir mit dieser Umrechnung das inverse Element der Multiplikation definieren: Mathe für Nicht-Freaks: Vorlage:Definition Durch einfaches Nachrechnen lässt sich bestätigen: Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel

Distributivgesetz

Weil die Multiplikation kommutativ ist, brauchen wir nicht zwischen linksdistributiv und rechtsdistributiv zu unterscheiden. Damit beschränkt sich der Beweis auf das Umrechnen der folgenden Beziehung unter Benutzung der Definition einer komplexen Zahl und der Regeln für die reellen Zahlen. Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel Es handelt sich wieder um einfache Umwandlungen und sei deshalb dem Leser überlassen.

Potenzen

Ohne nähere Herleitung können wir auch Potenzen mit natürlichen Exponenten benutzen, indem wir sie als mehrfache Multiplikation definieren und die Klammerregeln anwenden:

Auch die Erweiterung auf ganzzahlige Exponenten können wir von den reellen Zahlen übernehmen: Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel

Die komplexen Zahlen bilden einen Körper

Die im Abschnitt Hinweise stehenden Regeln für die reellen Zahlen gelten also genauso für die komplexen Zahlen. Damit ist auch $ℂ$ ein Körper (im Sinne der Algebra).

Aufgaben

Gewandtheit im Umgang mit den komplexen Zahlen bekommt man durch Übung – bitte sehr.

Übungen

Vorlage:Übung4 Beweise, dass

1. die Summe,
2. die Differenz,
3. das Produkt und
4. der Quotient

der beiden komplexen Zahlen $3+\mathrm{i}$ und $2-3\mathrm{i}$ wieder komplexe Zahlen sind.

Vorlage:Übung4 Beweise dieselbe Aussage für beliebige komplexe Zahlen $a+b\mathrm{i}$ und $c+d\mathrm{i}$.

Vorlage:Übung4 Berechne: Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel

Vorlage:Übung4 Bestimme die positiven ganzzahligen Potenzen von i – also ${\mathrm{i}}^2,{\mathrm{i}}^3,{\mathrm{i}}^4\dots$ – sowie die negativen ganzzahligen Potenzen von i – also ${\mathrm{i}}^{-1},{\mathrm{i}}^{-2},{\mathrm{i}}^{-3}\dots$. (Es genügen die Exponenten von −8 bis +8.)

Vorlage:Übung4 Beweise, dass gilt: Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel

Vorlage:Übung4 Zeige, dass gilt: Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel

Vorlage:Übung4 Gegeben sei:

Zeige, dass gilt:

Vorlage:Übung4 Es sind reelle Zahlen a und b so zu bestimmen, dass gilt: Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel

Lösungen

1. Summe

$(3+\mathrm{i})+(2-3\mathrm{i})=(3+2)+\mathrm{i}(1-3)=5-2\mathrm{i}$

2. Differenz

$(3+\mathrm{i})-(2-3\mathrm{i})=(3-2)+\mathrm{i}(1+3)=1+4\mathrm{i}$

3. Produkt

$(3+\mathrm{i})(2-3\mathrm{i})=(3\cdot 2-1\cdot (-3))+\mathrm{i}(3\cdot (-3)+1\cdot 2)=9-7\mathrm{i}$

4. Quotient

Vorlage:Übung4 Lösung Wir beschränken uns auf Produkt und Quotient: Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel

Exponent

+2

+3

+4

+5

+6

+7

+8

–1

–2

–3

–4

–5

–6

–7

–8

Potenz

$-1$

$-\mathrm{i}$

$+1$

$+\mathrm{i}$

$-1$

$-\mathrm{i}$

$+1$

$-\mathrm{i}$

$-1$

$+\mathrm{i}$

$+1$

$-\mathrm{i}$

$-1$

$+\mathrm{i}$

$+1$

Wegen ${\mathrm{i}}^2=-1$ erscheint manches etwas seltsam, beispielsweise ${\mathrm{i}}^5=\mathrm{i}$.

Wir vergleichen Real- und Imaginärteil und erhalten: Komplexe Zahlen/ Vorlage:Formel

(a ist zwangsläufig ungleich 0.) Daraus folgt:

Mögliche Lösungen sind also $a^2=4$ und $a^2=-1$. Da a reell sein soll, können wir die zweite Lösung nicht gebrauchen; also gilt $a=\pm 2$. Für $a=2$ ergibt sich $b=1$, und für $a=-2$ erhalten wir $b=-1$.

Hinweise

Regeln der reellen Zahlen

$ℝ$ ist ein Körper im Sinne der Algebra, weil alle Bedingungen erfüllt sind:

Addition und Subtraktion

• Es gibt 0 als neutrales Element, d. h. für alle $a\in ℝ$ gilt: $a+0=a$
• Zu jedem $a\in ℝ$ gibt es ein inverses Element $a^{\prime }$ mit der Eigenschaft $a+a^{\prime }=0$ – nämlich $a^{\prime }=-a$.
• Die Addition ist kommutativ: $a+b=b+a$
• Die Addition ist assoziativ: $(a+b)+c=a+(b+c)$

Multiplikation und Division

• Es gibt 1 als neutrales Element, d. h. für alle $a\in ℝ$ gilt: $a\cdot 1=a$
• Zu jedem $a\in ℝ$ mit $a\ne 0$ gibt es ein inverses Element $a^{″}$ mit der Eigenschaft $a\cdot a^{″}=1$ – nämlich $a^{″}=\frac{1}{a}$
• Die Multiplikation ist kommutativ: $a\cdot b=b\cdot a$
• Die Multiplikation ist assoziativ: $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

Distributivgesetz

• Eine Summe oder Differenz wird mit einem Faktor multipliziert, indem man jeden Summanden (bzw. Minuend und Subtrahend) mit diesem Faktor multipliziert und die Produktwerte addiert (bzw. subtrahiert):

$(a\pm b)\cdot c=a\cdot c\pm b\cdot c$

Siehe auch

Bei Wikipedia finden sich die folgenden Artikel:

• Körper – Bedingungen eines Körpers im Sinne der Algebra
• Reelle Zahlen und Komplexe Zahlen
• Kommutativgesetz – Assoziativgesetz – Distributivgesetz