Ing Mathematik: Matrizen

Matrix

Matrix

Als $m\times n$-Matrix bezeichnet man ein rechteckiges Schema von $m\cdot n$ Elementen (Zahlen, Polynome, Differentiale, etc.), die in m Zeilen und n Spalten angeordnet sind.

$A=\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)$

oder in Kurzform

$A=\left(a_{ij}\right)$

Eine Matrix mit nur einer Zeile oder Spalte entspricht einem Vektor.

Als i-ten Zeilenvektor bezeichnet man $z_i=(a_{i1},a_{i2},\dots ,a_{in})$

Als j-ten Spaltenvektor bezeichnet man $s_j=\left(\begin{array}{c}{a}_{1j}\\ a_{2j}\\ ⋮\\ a_{mj}\end{array}\right)$

Beispiel:

$A=\left(\begin{array}{ccc}5& 7& 1\\ -1& 0& 3\end{array}\right)$ ist eine $2\times 3$ - Matrix

Transponierte Matrix

Tauscht man in einer Matrix A Zeilen mit Spalten, so erhält man die transponierte Matrix $A^T$.

$A\left(a_{ij}\right)\to A^T\left(a_{ji}\right)$

Beispiel:

$A=\left(\begin{array}{cccc}5& 6& 7& 8\\ 9& 10& 11& 12\end{array}\right)$

$A^T=\left(\begin{array}{cc}5& 9\\ 6& 10\\ 7& 11\\ 8& 12\end{array}\right)$

Übung: Transponieren sie die Matrix $A^T=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1\\ -6& 9& 0& -1\\ 3& 1& 5& 0\\ 0& 0& -2& -8\end{array}\right)$

Spezielle Matrixtypen

Quadratische Matrix

Als quadratische Matrix bezeichnet man eine $(n\times n)$-Matrix.

Diagonalmatrix

Die Diagonalmatrix ist eine quadratische Matrix. Bei einer Diagonalmatrix sind alle Werte außerhalb der Hauptdiagonalen mit 0 belegt.

$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ 0& a_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & 0\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right)=\left({\delta }_{ik}{a}_{ii}\right)$

mit ${\delta }_{ik}\dots$ Kronecker-Delta

Als Spur der quadratischen Matrix bezeichnet man

$s=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}$

Einheitsmatrix

Die Einheitsmatrix ist eine Diagonalmatrix, bei der die Hauptdiagonale mit Einsern belegt ist.

$E=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & 0\\ 0& 0& \cdots & 1\end{array}\right)$

Spezialfall: Obere / untere Dreiecksmatrix Def. obere Dreiecksmatrix : alle Elemente der Matrix unterhalb der Hauptdiagonale sind 0 Def. untere Dreiecksmatrix: alle Elemente der Matrix oberhalb der Hauptdiagonale sind 0

Anwendung: kann man eine beliebige Matrix durch äquivalente Umformungen in eine der o. g. Darstellungen bringen, lässt sich auf diese Weise leicht die Determinante dieser Matrix bestimmen, da das Produkt aller Elemente von beliebigen Geraden, mit Ausnahme der Hauptdiagonale 0 ist. Die Determinante ist folglich das Produkt aller Hauptdiagonalelemente

Symmetrische Matrix

Eine symmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix mit

$A=A^T$

oder

$\left(a_{ij}\right)=\left(a_{ji}\right)$

Beispiel: $B=\left(\begin{array}{cccc}1& 7& 5& 9\\ 7& 1& 3& 0\\ 5& 3& 4& 1\\ 9& 0& 1& 9\end{array}\right)$

Schiefsymmetrische Matrix

Eine schiefsymmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix mit

$A=-A^T$

oder

$\left(a_{ij}\right)=(-a_{ji})$

Beispiel: $B=\left(\begin{array}{cccc}0& 7& 5& 9\\ -7& 0& 3& 4\\ -5& -3& 0& 1\\ -9& -4& -1& 0\end{array}\right)$

Die Hauptdiagonale muss mit Nullen belegt sein, d.h. die Spur ist null.

Nullmatrix

Bei einer Nullmatrix sind alle Koeffizienten mit 0 belegt.

$0=\left(\begin{array}{ccc}0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0\end{array}\right)$

Rechenregeln

Gleichheit von Matrizen

Eine $m\times n$-Matrix A ist gleich einer $r\times s$-Matrix B, wenn

1. $m=r$ und $n=s$
2. $a_{ij}=b_{ij}\mathrm{\forall }i,j$

Matrizenaddition

$C=A\pm B=(a_{ij}\pm b_{ij})$

Bedingung: Die Matrizen A und B müssen gleiche Zeilen- und Spaltenanzahl aufweisen.

Beispiel:

$\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ -2& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 1\\ 1& 7\end{array}\right)$

Vielfaches einer Matrix

$C=kA=\left(k{a}_{ij}\right)k\in ℝ$

$C=k(A\pm B))=kA\pm kBk\in ℝ$

$C=(j\pm k)A=jA\pm kAj,k\in ℝ$

$C=\left(jk\right)A=j\left(kA\right)=k\left(jA\right)j,k\in ℝ$

Beispiel:

$2\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 7& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 14& 8\end{array}\right)$

Matrizenmultiplikation

$C=A\cdot B$

$c_{ik}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}\cdot b_{jk}$

Bedingung: Die Spaltenanzahl der Matrix A muss der Zeilenanzahl der Matrix B entsprechen.

Achtung! Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ!

$A\cdot B\ne B\cdot A$

Beispiel:

$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ -3& 8\\ 9& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1\cdot 1-2\cdot 3+3\cdot 9& 0+2\cdot 8-3\cdot 2\\ -4\cdot 1-5\cdot 3+6\cdot 9& 0+5\cdot 8-6\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}20& 10\\ 35& 28\end{array}\right)$

Anschaulich durchführen kann man die Matrizenmultiplikation mittels Falkschem Schema:

Beispiel:

Für quadratische Matrizen sind auch Potenzen von Matrizen definiert.

$A^n=\prod _{i=1}^{n}A$

$A^0=E$

Übung: Multiplizieren sie $\left(\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 5\\ 1& 1& 3& -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& -5\\ 2& 1\\ -1& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$

Kommutativgesetze

$A\pm B=B\pm A$

$A\cdot B\ne B\cdot A$

$A\cdot E=E\cdot A=A$

$(A\cdot B{)}^T=B^T\cdot A^T$

Assoziativgesetze

$A\pm B\pm C=(A\pm B)\pm C=A\pm (B\pm C)$

$A\cdot B\cdot C=(A\cdot B)\cdot C=A\cdot (B\cdot C)$

Distributivgesetze

$A\cdot (B\pm C)=A\cdot B\pm A\cdot C$

$(A\pm B)\cdot C=A\cdot C\pm B\cdot C$

Rang einer Matrix

Rang einer Matrix

Unter dem Zeilenrang $r_z(A)$ der Matrix A versteht man die Anzahl der linear unabhängigen Zeilenvektoren der Matrix A. Unter dem Spaltenrang $r_s(A)$ der Matrix A versteht man die Anzahl der linear unabhängigen Spaltenvektoren der Matrix A. Dabei gilt immer, dass $r_z=r_s$ ist. Der Rang einer Matrix A (Rg(A)) ist gleich dem Zeilenrang bzw. Spaltenrang der Matrix A.

Beispiel 1: $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

$Rg(A)=r_z=r_s=3$

Beispiel 2: $B=\left(\begin{array}{cc}5& 1\\ 5& 1\\ 5& 1\end{array}\right)$

$Rg(B)=r_z=r_s=1$

Zur Berechnung des Zeilen-/Spaltenranges einer Matrix kann man folgende Umformungen durchführen,

für die Bestimmung des Zeilenranges:

• Vertauschung zweier Zeilen
• Multiplikation von Zeilen i mit $k_i\in ℝ$
• Addition des k-fachen eines Zeilenvektors zu einem anderen Zeilenvektor mit $(k\in ℝ)$

und für die Bestimmung des Spaltenranges:

• Vertauschung zweier Spalten
• Multiplikation von Spalten j mit $k_j\in ℝ$
• Addition des k-fachen eines Spaltenvektors zu einem anderen Spaltenvektor mit $(k\in ℝ)$

Übung: Bestimmen sie den Rang der Matrix $A=\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 5& 1\\ -7& 3& 1& 2\\ 1& 1& 0& 1\\ 14& -6& -2& -4\end{array}\right)$

Der Rang einer Matrix ist insbesondere auch für die Bestimmung der Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen von Interesse.

Matrizen mit komplexen Zahlen

Für Matrizen, die komplexe Zahlen beinhalten, gelten die selben Regeln wie für reelle Matrizen.

Eine komplexe Matrix C kann man in zwei Matrizen A und B aufspalten

$C=A+iB$

Ein wunderschönes Beispiel aus der Festigkeitslehre

Die allseits bekannte und beliebte Cauchysche Formel ${\mathit{\sigma }}_n=S\cdot 𝐧$ mit

dem Spannungsvektor

${\mathit{\sigma }}_n=\left(\begin{array}{c}{\sigma }_x\\ {\sigma }_y\\ {\sigma }_z\end{array}\right)$

dem symmetrischen Spannungstensor (= Spannungsmatrix)

$S=\left(\begin{array}{ccc}{\sigma }_{xx}& {\sigma }_{xy}& {\sigma }_{xz}\\ {\sigma }_{xy}& {\sigma }_{yy}& {\sigma }_{yz}\\ {\sigma }_{xz}& {\sigma }_{yz}& {\sigma }_{zz}\end{array}\right)$

und dem Normalenvektor

$𝐧=\left(\begin{array}{c}{n}_x\\ n_y\\ n_z\end{array}\right)$

sei gegeben. Die Komponenten des Spannungsvektors sollen ermittelt werden:

1. allgemein
2. für ${\sigma }_{xx}=50N/m{m}^2$, ${\sigma }_{yy}=10N/m{m}^2$, ${\sigma }_{zz}=-10N/m{m}^2$, ${\sigma }_{xy}=20N/m{m}^2$, ${\sigma }_{xz}={\sigma }_{yz}=0N/m{m}^2$ und $𝐧=(1;0,5;0,5{)}^T$

Lösung:

${\mathit{\sigma }}_n=S\cdot 𝐧=\left(\begin{array}{ccc}{\sigma }_{xx}& {\sigma }_{xy}& {\sigma }_{xz}\\ {\sigma }_{xy}& {\sigma }_{yy}& {\sigma }_{yz}\\ {\sigma }_{xz}& {\sigma }_{yz}& {\sigma }_{zz}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}{n}_x\\ n_y\\ n_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\sigma }_{xx}{n}_x+{\sigma }_{xy}{n}_y+{\sigma }_{xz}{n}_z\\ {\sigma }_{xy}{n}_x+{\sigma }_{yy}{n}_y+{\sigma }_{yz}{n}_z\\ {\sigma }_{xz}{n}_x+{\sigma }_{yz}{n}_y+{\sigma }_{zz}{n}_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{\sigma }_x\\ {\sigma }_y\\ {\sigma }_z\end{array}\right)$

${\sigma }_x={\sigma }_{xx}{n}_x+{\sigma }_{xy}{n}_y+{\sigma }_{xz}{n}_z=50\cdot 1+20\cdot 0,5+0=60N/m{m}^2$

${\sigma }_y={\sigma }_{xy}{n}_x+{\sigma }_{yy}{n}_y+{\sigma }_{yz}{n}_z=20\cdot 1+10\cdot 0,5+0=25N/m{m}^2$

${\sigma }_z={\sigma }_{xz}{n}_x+{\sigma }_{yz}{n}_y+{\sigma }_{zz}{n}_z=0+0-10\cdot 0,5=-5N/m{m}^2$