Ing Mathematik: Lineare Vektorfunktionen

Lineare Vektorfunktion

Eine (Vektor)funktion $f:{ℝ}^n\to ℝ$ heißt linear, wenn es Zahlen $a_1,a_2,\dots ,a_n\in ℝ$ gibt, sodass $f(𝐱)=a_1{𝐱}_1+a_2{𝐱}_2+\dots +a_n{𝐱}_n$ mit $\mathrm{\forall }{𝐱}_i\in {ℝ}^n$ gilt.

Eine (Vektor)funktion $f:{ℝ}^n\to ℝ$ Funktion ist genau dann linear, wenn $f(\lambda 𝐱+\mu 𝐲)=\lambda f(𝐱)+\mu f(𝐲)$ mit $\lambda ,\mu \in ℝ;𝐱,𝐲\in {ℝ}^n$ gilt.

Wie bereits bekannt, kann jeder beliebige Vektor als Linearkombination

$𝐱=x_1{𝐞}_1+x_2{𝐞}_2+\dots +x_n{𝐞}_n$ dargestellt werden.

Somit ist

$𝐲=f(𝐱)=x_{1}f({𝐞}_1)+x_{2}f({𝐞}_2)+\dots +x_{n}f({𝐞}_n)$.

Für die Bilder der Einheitsvektoren gilt

$f({𝐞}_j)=a_{1j}f({𝐞}_1)+a_{2j}f({𝐞}_2)+\dots +a_{nj}f({𝐞}_n)$.

Und somit gilt weiter

$𝐲=(a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\dots +a_{1n}{x}_n){𝐞}_1+\dots +(a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+\dots +a_{nn}{x}_n){𝐞}_n$.

Natürlich kann man dies auch übersichtlicher in Matrixschreibweise ausdrücken

$𝐲=A𝐱;A=(a_{ij})$.

A ist dabei eine quadratische Matrix.

Eigenwerte

Gegeben sei die lineare Vektorfunktion $𝐲=A𝐱$. Die Frage nach der Parallelität der beiden Vektoren x und y führt zum speziellen Eigenwertproblem.

x ist dann parallel zu y, wenn $𝐲=\lambda 𝐱=\lambda E𝐱;\lambda \in ℝ$ gilt.

$(A-\lambda E)𝐱=0$

Dies ist ein homogenes Gleichungssystem mit der $(n\times n)$-Matrix $A-\lambda E$. Dieses Gleichungssystem hat nur dann nichttriviale Lösungen $𝐱\ne 𝐨$, wenn $\mathrm{r}\mathrm{g}\mathrm{(}\mathrm{A}\mathrm{-}\mathrm{\lambda }\mathrm{E}\mathrm{)}<\mathrm{n}$. Es muss also gelten

$P(\lambda )=\det (A-\lambda E)=0$

Diese Gleichung wird auch als charakteristische Gleichung der Matrix A bezeichnet.

$P(\lambda )=\det (A-\lambda E)=(-1{)}^n{\lambda }^n+b_{n-1}{\lambda }^{n-1}+\dots +b_0$ heißt charakteristisches Polynom der Matrix A.

Die Wurzeln ${\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$ der charakteristischen Gleichung nennt man die Eigenwerte der Matrix A.

Die Lösungen ${𝐱}_i\ne 𝐨$ des linearen Gleichungssystems $(A-\lambda E)𝐱=0$ heißen Eigenvektoren der Matrix A.

Beispiel: $A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 4& 3\end{array}\right)$

$P(\lambda )=\det \left(\begin{array}{cc}2-\lambda & 0\\ 4& 3-\lambda \end{array}\right)=(2-\lambda )(3-\lambda )={\lambda }^2-5\lambda +6=0$

${\lambda }_{1,2}=\frac{5}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{5}{2}\right)}^2-6}$

${\lambda }_1=3:$

$\left(\begin{array}{cc}2-{\lambda }_1& 0\\ 4& 3-{\lambda }_1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$

eine mögliche Lösung: ${𝐱}_{(1)}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$

Übung 1: Berechnen sie einen Eigenvektor ${𝐱}_{(2)}$ für den zweiten Eigenwert ${\lambda }_2=2$ des obigen Beispiels.

Übung 2: Berechnen sie Eigenwerte und Eigenvektoren für die Matrix $A=\left(\begin{array}{ccc}4& 0& 3\\ 1& 1& 4\\ 2& -1& 0\end{array}\right)$ .

Reelle, symmetrische Matrix A

• Ist die $n\times n$-Matrix $A=(a_{ij})$ symmetrisch $(A=A^T)$ und reell, so sind auch alle n Eigenwerte dieser Matrix reell.
• Die zu verschiedenen Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren einer reellen, symmetrischen Matrix sind orthogonal: ${𝐱}_{(i)}{𝐱}_{(j)}=0$.
• Hauptachsentransformation: Die Matrix A kann mittels einer orthogonalen Matrix T auf Diagonalgestalt gebracht werden. Die Spalten i der orthogonalen Matrix T sind die auf Eins normierten Eigenvektoren ${𝐱}_{(i)}$.
  $T^{-1}AT=T^{T}AT=\left(\begin{array}{ccc}{\lambda }_1& & 0\\ & \ddots \\ 0& & {\lambda }_n\end{array}\right)$

Übung: Gegeben ist die Matrix $A=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 3\\ 0& 2& -1\\ 3& -1& 3\end{array}\right)$ . Berechnen sie die Eigenwerte, Eigenvektoren und führen sie die Hauptachsentransformation durch (Hinweis: Gram-Schmidtsches-Orthogonalisierungsverfahren).

Bewegungen

Eine Bewegung (in der Ebene oder im Raum) ist definiert durch die Gleichung

${𝐱}^{\text{'}}=A𝐱+𝐭$

Die Matrix A sei dabei orthogonal. Dies bedeutet, dass $\det A=\pm 1$ und $A{A}^T=E$.

• $\det A=1$: orientierungstreue Bewegung (Schraubung = Drehung + Translation)
• $\det A=-1$: orientierungsumkehrende Bewegung (Umlegung)
• $A=E$: Translation
• $\det A=1\wedge 𝐭=𝐨$: Drehung um eine durch den Ursprung verlaufende Gerade

Orthogonale Transformationen in der Ebene

${x_1}^{\prime }=a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+t_1$

${x_2}^{\prime }=a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+t_2$

Wegen der Orthogonalität von A gilt:

$a_{11}^2+a_{21}^2=1$

$a_{12}^2+a_{22}^2=1$

$a_{11}{a}_{12}+a_{21}{a}_{22}=0$

Diese Gleichungen werden durch folgende trigonometrischen Gleichungen erfüllt:

${\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi =1$

$(-\sin \phi {)}^2+{\cos }^2\phi =1$

$-\cos \phi \sin \phi +\cos \phi \sin \phi =0$

Das bedeutet, daß die Matrix

$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right)$

eine Drehung der Ebene mit dem Winkel $\phi$um einen festen Punkt bewirkt.

Drehung des Koordinatensystems um den Winkel $\phi$ bei fest gehaltenem Vektor:

$\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x_1}^{\prime }\\ {x_2}^{\prime }\end{array}\right)$

Drehung des Vektors um den Winkel $\phi$ bei fest gehaltenem Koordinatensystem:

$\left(\begin{array}{c}{x_1}^{\prime }\\ {x_2}^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \phi & -\sin \phi \\ \sin \phi & \cos \phi \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)$

Kurven zweiter Ordnung

Ebene Kurven 2. Ordnung (Kegelschnitte) lassen sich durch

$a_{11}{x}^2+2a_{12}xy+a_{22}{y}^2+2a_{13}x+2a_{23}+a_{33}=0$

beschreiben.

In Matrizenschreibweise:

${𝐱}^{\mathrm{T}}𝐀𝐱+2{𝐚}^{\mathrm{T}}𝐱+a_{33}=0$

mit $𝐱=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right);𝐀=\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}& a_{12}\\ a_{12}& a_{22}\end{array}\right);𝐚=\left(\begin{array}{c}{a}_{13}\\ a_{23}\end{array}\right)$

Übung: Zeigen Sie, dass ${𝐱}^{\mathrm{T}}𝐀𝐱+2{𝐚}^{\mathrm{T}}𝐱+a_{33}=a_{11}{x}^2+2a_{12}xy+a_{22}{y}^2+2a_{13}x+2a_{23}+a_{33}$ gilt.

Nicht ausgeartete Kegelschnitte:

(1) Parabel, (2) Kreis und Ellipse, (3) Hyperbel

Ausgeartete Kegelschnitte:

sich schneidendes Geradenpaar, paralleles Geradenpaar, eine Gerade, ein Punkt

Kreise

$|𝐩-𝐜|=r;𝐩=[x,y];𝐜=[h,k]$

$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=r^2$

Multipliziert man das aus, so erhalten wir eine Kurvengleichung 2. Ordnung

$x^2+y^2-\underset{-E}{\underbrace{2h}}x-\underset{-F}{\underbrace{2k}}y+\underset{G}{\underbrace{h^2+k^2-r^2}}=0$

D.h. der Kreis ist ein Kegelschnitt.

Nun wollen wir das Ganze umdrehen, d.h. gegeben ist eine Kegelschnittgleichung. Wir wollen daraus die Kreisgleichung gewinnen. Dazu ergänzen wir quadratisch

$\underset{{(x+\frac{E}{2})}^2}{\underbrace{x^2+Ex+\frac{E^2}{4}}}+\underset{{(y+\frac{F}{2})}^2}{\underbrace{y^2+Fx+\frac{F^2}{4}}}=\underset{r^2}{\underbrace{\frac{E^2}{4}+\frac{F^2}{4}-G}}$

und schon haben wir die Kreisgleichung mit $h=-\frac{E}{2}$ und $k=-\frac{F}{2}$.

Übung: Bestimme die Kreisgleichung zur gegebenen Kegelschnittgleichung $2x^2+2y^2-8x+6y+4=0$

Zu beachten ist auch, dass $\frac{E^2}{4}+\frac{F^2}{4}-G=r^2>0$ sein muss. Ansonsten landen wir bei ausgearteten Kegelschnitten.

Eine Parameterdarstellung des Kreises erhalten wir mit

$x=h+r\cos t;y=k+r\sin t;t\in [0,2\pi ]$.

Übung: Leiten Sie die Parameterdarstellung des Kreises her.

Ellipsen

Mittelpunktgleichung der Ellipse

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$.

Diese Gleichung lässt sich über die Brennpunktabstände herleiten. Wir wollen das hier nicht machen, sondern die Formel als gegeben hinnehmen.

Eine Parameterdarstellung lautet:

$x=a\cos t;y=b\sin t;t\in [0,2\pi ]$

Hyperbeln

Mittelpunktgleichung der Ellipse:

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

Eine Parameterdarstellung lautet:

$x=\pm a\cosh t;y=b\sinh t;t\in ℝ$

Parabeln

Scheitelgleichung:

• 
• 

$y=\frac{x^2}{2p}=a{x}^2$

Eine Parameterdarstellung: $x=t;y=\frac{t^2}{2p};t\in ℝ$

Allgemeine Kegelschnittgleichung

Siehe vorerst Vorlage:W und Vorlage:W.