Ing Mathematik: Funktionen

Definition

Funktion

A und B seien Mengen. Eine Funktion f ist eine Vorschrift, die jedem Element $x\in A$ dabei genau ein Element $f(x)\in B$ zuordnet (eindeutige Abbildung).

A heißt Definitionsbereich von f, B ist der Zielbereich und W der Wertebereich von f. $x\in A$ nennt man Argument von f. $y\in B$ mit $y=f(x)$ bezeichnet man als "Bild von x unter f" oder "Funktionswert von f an der Stelle x".

Eine Funktion kann auch in Form eines Pfeildiagramms visualisiert werden

Verschiedene Schreibweisen

• Exakte Darstellung: $f:\{(x,y)|y=f(x),x\in A,y\in B\}$
• Abgekürzte Schreibweisen:
  • Funktion f von A nach B: $f:A\to B$
  • $f:x\mapsto f(x)$
  • $x\mapsto f(x)$
  • Funktionsgleichung in expliziter Form: $y=f(x)$
  • Funktionsgleichung in impliziter Form: $F(x,y)=0$
  • Funktionsgleichung in Parameterform: $\begin{array}{c}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$

Zwei Funktionen f und g sind dann gleich, wenn folgender Zusammenhang gilt:

$f=g\iff \mathrm{\forall }x\in A:f(x)=g(x)$

Komposition von Funktionen

Beispiel: Die Schallgeschwindigkeit c ist bei gleichbleibendem Druck und Dichte des Mediums abhängig vom Isentropenkoeffizienten $\kappa$. Das bedeutet $c=f(\kappa )$. Gleichzeitig ist aber $\kappa$ abhängig von der Temperatur T, also $\kappa =g(T)$.

Die Zusammensetzung (Komposition) ergibt $c=h(T)=f(g(T))$

Man schreibt für $f(g(x))$ auch $(f\circ g)(x)$. Es ist auch zu beachten, dass $f\circ g\ne g\circ f$

Formal kann eine Komposition von Funktionen folgendermaßen angeschrieben werden:

$g:A\to B,f:C\to D,B=C$

$f\circ g:A\to D$.

Bijektivität und Umkehrung

Injektive Funktionen

Injektive Funktion

Eine Funktion $f:A\to B$ heißt injektiv (eineindeutig), wenn $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)\Rightarrow x_1=x_2$

Ist eine Funktion f injektiv und $a\in W$, so läßt sich eine Gleichung $f(x)=a$ prinzipiell eindeutig nach x auflösen.

Beispiel: $x^2=a$ ist nicht injektiv, da $x=\pm \sqrt{a}$

Surjektive Funktionen

Gilt, dass der Wertebereich W einer Funktion f gleich dem Zielbereich B ist, so nennt man die Funktion surjektiv. Eine surjektive Funktion muss nicht unbedingt injektiv sein.

Bijektive Funktionen

Ist eine Funktion f sowohl injektiv als auch surjektiv, so nennt man sie bijektiv. Zu jeder bijektiven Funktion $f:A\to B$ existiert die Umkehrfunktion $f^{-1}:B\to A$.

Umkehrfunktionen

Umkehrfunktion

Ist $f:A\to W$ eine injektive Funktion, so ist $f^{-1}:W\to A$ die Umkehrfunktion zu f. $f^{-1}(y)=x\leftrightarrow y=f(x);x\in A$.

Monotonie und Beschränktheit

Monotone Funktionen

Eine Funktion y=f(x) ist genau dann monoton steigend (fallend), wenn $f(x)\ge f(y)$, bzw. $f(x)\le f(y)$ für alle $x>y$ ist.

Eine weitere Unterscheidung ist "streng monoton steigend/fallend", wenn $f(x)>f(y)$, bzw. $f(x)<f(y)$ für alle $x>y$ gilt.

Monoton steigende Funktion

Wird x größer, so wird auch y=f(x) größer oder bleibt zumindest gleich.

Beispiel:

Monoton fallende Funktion

Wird x größer, so wird y=f(x) kleiner oder bleibt zumindest gleich.

Beispiel:

Beschränkte Funktionen

Eine Funktion heißt beschränkt, wenn es zwei Zahlen $S_1$ und $S_2$ gibt, sodass $S_1\le f(x)\le S_2$ für alle x gilt.

Beispiel: $\sin (x)$ und $\cos (x)$ sind beschränkte Funktionen mit $S_1=-1$ und $S_2=1$.

(Magenta: beschränkte Funktion, blau: unbeschränkte Funktion)

Bezug zur Monotonie

Satz Jede streng monotone Funktion ist injektiv. Die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht (kann aber).

Weitere Eigenschaften

Symmetrische (gerade) Funktion

Eine Funktion heißt symmetrisch (zur Ordinate), wenn gilt f(x) = f(-x)

Beispiele: $y=\cos (x)$, $y=x^2$

Schiefsymmetrische (ungerade) Funktion

Eine Funktion heißt schiefsymmetrisch, wenn gilt f(-x) = -f(x)
Dies entspricht einer Spiegelung der Funktion an der Winkelhalbierenden

Beispiele: $y=\sin (x)$, $y=x^3$

Periodische Funktion

$f(x)=f(x\pm kT)$, wobei T als Periode der Funktion bezeichnet wird.

Beispiel: $f(x)=\sin (x)$, Periode $T=2\pi$