Ing Mathematik: Differentialrechnung

Grundlagen

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Die Ableitung einer Funktion ist durch folgende Gleichung definiert:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Die Funktion $f$ geht durch den Punkt $(x,y)=(x,f(x))$. Zeichnet man in diesem Punkt die Tangente an die Funktion und misst deren Steigung aus, so erhält man gerade den Wert $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$. Die Ableitung hat also die anschauliche Bedeutung der Tangentensteigung. Sucht man eine Gerade die durch den Punkt $(x,f(x))$ geht und deren Funktionswerte in einem kleinen Bereich um x herum möglichst nahe an denen von $f$ liegen soll, so erhält man gerade die Tangente. Man nennt die Tangente daher auch lineare Bestapproximation. Zur Berechnung der Ableitungen gibt es einige Regeln, die im Folgenden nachgerechnet werden. Es gibt viele unterschiedliche Schreibweisen für Ableitungen, einige von diesen sind:

$\frac{\partial }{\partial x}f(x)=\frac{\partial f}{\partial x}(x)=\frac{\partial f(x)}{\partial x}$

Sie sind alle gleichwertig. Weiterhin gibt es noch die Schreibweise:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x)=\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}=f^{\prime }(x)$

In viele Fällen ist sie den obigen Schreibweisen gleichwertig. Jedoch gilt es insbesondere im mehrdimensionalen Fall Unterschiede zwischen diesen beiden Schreibweisen zu beachten, so dass häufig gilt:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)\ne \frac{\partial }{\partial x}f(x)$

Aber dies soll uns hier noch nicht belasten. Man kann jeder differenzierbaren Funktion ihre Ableitung zuordnen. Damit hat man dann eine Abbildung von der Menge der Funktionen in die Menge der Funktionen. Für diese Abbildung schreibt man auch das Symbol $\frac{\partial }{\partial x}$ . Es handelt sich also um ein Rechenzeichen das aus einer Funktion deren Ableitung berechnet. Diese Art von Rechenzeichen nennt man auch Differenzialoperatoren. Natürlich ist auch $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$ ein Differenzialoperator. Erfunden wurde die Differentialrechnung von Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz.

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  Sir Isaac Newton (1642-1727) englischer Universalgelehrter
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  Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) deutscher Universalgelehrter

Summenregel

$\begin{array}{ccccc}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f(x)\pm g(x))& =& \underset{h\to 0}{\lim }\frac{(f(x+h)\pm g(x+h))-(f(x)\pm g(x))}{h}& =& \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\pm \underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ & =& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)\pm \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(x)& & \end{array}$

Produktregel

$\begin{array}{ccc}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f(x)\cdot g(x))& =& \underset{h\to 0}{\lim }\frac{(f(x+h)\cdot g(x+h))-(f(x)\cdot g(x))}{h}\\ & =& \underset{h\to 0}{\lim }\frac{(f(x+h)\cdot g(x+h))-f(x+h)\cdot g(x)+f(x+h)\cdot g(x)-(f(x)\cdot g(x))}{h}\\ & =& \underset{h\to 0}{\lim }f(x+h)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}+\underset{h\to 0}{\lim }g(x)\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\ & =& f(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}g(x)+g(x)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)\end{array}$

Quotientenregel

$\begin{array}{ccc}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{1}{f(x)}& =& \underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{h}(\frac{1}{f(x+h)}-\frac{1}{f(x)})=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(x+h)}{hf(x+h)f(x)}\\ & =& \underset{h\to 0}{\lim }-\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot \frac{1}{f(x)f(x+h)}=-\frac{1}{f(x{)}^2}\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{f(x)}{g(x)}& =& \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f(x)\cdot \frac{1}{g(x)})=f(x)\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\frac{1}{g(x)}+\frac{1}{g(x)}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)\\ & =& -f(x)\frac{1}{g(x{)}^2}\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}+\frac{1}{g(x)}\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}=\frac{g(x)\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}-f(x)\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}}{g(x{)}^2}\end{array}$

Ableitung der identischen Funktion

Betrachten wir die identische Abbildung $f(x)=x$:

$\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{x+h-x}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }1=1$

Dies ist nicht verwunderlich da jede Tangente an eine Gerade mit der Steigung 1 ebenfalls die Steigung 1 hat.

Potenzen

Betrachten wir die Funktion $f(x)=x^n$ wobei $n\in \mathbb{N}$: Die Ableitung ist gegeben durch:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{x}^n=n{x}^{n-1}$

Dies zeigen wir per Induktion. Mit der Berechnung der Ableitung der Funktion $f(x)=x$ haben wir diese Formel schon für $n=1$ bewiesen. Es bleibt also nur noch der Induktionsschritt von $n-1$ auf $n$. Sei die Formel für $n-1$ schon bewiesen: Dann berechnet sich die Ableitung von $x^n$ nach der Produktregel:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{x}^n=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x\cdot x^{n-1})=1\cdot x^{n-1}+x\cdot \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{x}^{n-1}=x^{n-1}+x(n-1)x^{n-2}=n{x}^{n-1}$

Damit ist die Aussage für alle $n\in \mathbb{N}$ bewiesen.

Konstanten

Betrachten wir die konstante Funktion $f(x)=k$:

$\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{k-k}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }0=0$

Die Ableitung der konstanten Funktion ist also 0. Betrachten wir nun eine beliebige Funktion multipliziert mit einer Konstanten.$f(x)=k\cdot g(x)$

$\frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{k\cdot g(x+h)-k\cdot g(x)}{h}=k\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=k\frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}$

Man darf Konstanten also einfach vor die Ableitung ziehen.

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(k\cdot g(x))=k\cdot \frac{\mathrm{d}g(x)}{\mathrm{d}x}$

Exponentialfunktion

Die Ableitung der Exponentialfunktion

$e^x=1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3+...$

berechnet sich nach obigen Regeln zu:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{e}^x=0+\frac{1}{1!}1+\frac{2}{2!}{x}^1+\frac{3}{3!}{x}^2=1+\frac{1}{1!}x+\frac{1}{2!}{x}^2+...=e^x$

Sie geht also beim Ableiten in sich selbst über.

Für $f(x)=a^x$ gilt:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{a}^x=a^x\log a.$

$\log$ ist hier der natürliche Logarithmus.

Übung: Leiten Sie $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{a}^x=a^x\log a$ her. Eine Lösung der Übung findet sich z.B. Vorlage:W.

Kettenregel

$\begin{array}{ccc}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(g(x))& =& \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h)-g(x)}\\ & =& \underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(g(x)+(g(x+h)-g(x)))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\frac{g(x+h)-g(x)}{\cdot }\underset{h\to 0}{\lim }\frac{g(x+h)-g(x)}{h}\\ & =& \underset{((g(x+h)-g(x))\to 0}{\lim }\frac{f(g(x)+(g(x+h)-g(x)))-f(g(x))}{(g(x+h)-g(x)}\frac{\partial g(x)}{\partial x}\\ & =& \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g}(g(x))\cdot \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\left(x\right)\end{array}$

Umkehrfunktion

Sei $f$ eine beliebige Funktion und g die zugehörige Umkehrfunktion dann gilt offensichtlich:

$f(g(x))=x$

Leitet man beide Seiten ab so erhält man:

$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}g}(g(x))\cdot \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}\left(x\right)=1$

Logarithmus

Wendet man das obige Ergebnis mit $f(g)=\log (g)$ und $g(x)=e^x$ an so hat man:

$\frac{\mathrm{d}\log (g)}{\mathrm{d}g}\cdot e^x=1$

und somit

$\frac{\mathrm{d}\log (g)}{\mathrm{d}g}=\frac{1}{g}$

Die Ableitung des Logarithmus $\log (x)$ ist also die Funktion $\frac{1}{x}$. Dir Funktion $\log$ sei hier der natürliche Logarithmus!

Für einen Logarithmus zur Basis a gilt allgemein:

$\frac{\mathrm{d}{\log }_a|x|}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{x\log a}.$

Übung: Leiten Sie $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{\log }_a|x|=\frac{1}{x\log a}$ her.

Sinus und Konsius

Wie wir im Kapitel über komplexe Zahlen sahen ist:

$\sin (x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$

und

$\cos (x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$

Die Ableitungen berechnen sich nach den oben angebenen Regeln zu:

$\frac{\mathrm{d}\sin (x)}{\mathrm{d}x}=\frac{i{e}^{ix}+i{e}^{-ix}}{2i}=\cos (x)$

und

$\frac{\mathrm{d}\cos (x)}{\mathrm{d}x}=\frac{i{e}^{ix}-i{e}^{-ix}}{2}=-\sin (x)$

Wobei wir im letzten Schritt $\frac{1}{i}=i^3=-i$ benutzt haben. Ansonsten haben wir mit komplexen Zahlen und Funktionen genauso gerechnet wie mit reellen, aber das dürfen wir auch.

Tangens

Der Tangens ist bekanntlich definert durch: $\tan (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ Die Ableitung ergibt sich nach den obigen Regeln zu $\frac{\mathrm{d}\tan (x)}{\mathrm{d}x}=\frac{\cos (x)\cos (x)-\sin (x)(-1)\sin (x)}{{\cos }^2(x)}=\frac{1}{{\cos }^2(x)}$

Arkusfunktionen

Übung: Leiten Sie die Ableitungen von $\arcsin (x),\arccos (x),\arctan (x)$ her. Lösungshinweis: Diese Funktionen sind Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen.

Höhere Ableitungen

Ist die Ableitung einer Funktion wieder ableitbar, so erhält man höhere Ableitungen. Z.B. ist die Ableitung der ersten Ableitung die zweite Ableitung:

$\frac{d}{dx}(\frac{d}{dx}f)=\frac{d^2}{d{x}^2}f=\frac{d^{2}f}{d{x}^2}=f^{″}=f^{(2)}$.

Und so geht es weiter mit der dritten Ableitung $f^{‴}$, der vierten Ableitung $f^{(4)}$ usw.

Beispiel: Die 2. Ableitung $f^{″}$ von $f=\sin x$ soll berechnet werden.

$f^{\prime }=\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$

$f^{″}=\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$

Übungen:

• $f=x^4$, bestimmen Sie $f^{(4)}$
• $f=a^{3x}$, bestimmen Sie $f^{‴}$
• $f=e^x\sin x$, bestimmen Sie $f^{‴}$

Kurvendiskussion

Übungen: Diskutieren Sie folgende Kurven:

• $y=1+x^{\frac{4}{5}}$
• $y=x^2\ln x$
• $y=x+\frac{1}{x}$

Die Regel von de L'Hospital

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