Formelsammlung Statistik/ Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mengenlehre und Vorlage:Latex IndexDE MORGANsche Regeln

$P(\overline{A}\cup \overline{B})=P(\overline{A\cap B})$

und

$P(\overline{A}\cap \overline{B})=P(\overline{A\cup B})$

Kombinatorik

Vorlage:Latex IndexFakultät

$n!=1\cdot 2\cdot ...\cdot (n-1)\cdot n$

$0!=1$

Vorlage:Latex IndexBinomialkoeffizient

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{k!(n-k)!},k,n\in N,k,n\ge 0.$

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})=1.$

Zufallsstichproben

Anzahl der möglichen Stichproben vom Umfang n aus einer Grundgesamtheit vom Umfang N:

	Ohne Zurücklegen	Mit Zurücklegen
Mit Vorlage:Latex Index	$\frac{N!}{(N-n)!}$	$N^n$
Ohne Berücksichtigung der Reihenfolge	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})$	$(\genfrac{}{}{0ex}{}{N+n-1}{n})$

Definition der Wahrscheinlichkeit

(Symmetrieprinzip oder Prinzip nach LAPLACE) Vorlage:Latex Index Vorlage:Latex Index Jedes Ergebnis A aus der Ergebnismenge Ω sei gleich häufig. |A| ist die Zahl der Ergebnisse,

die durch A belegt werden (Anzahl der günstigen Ergebnisse), |Ω| ist die Zahl aller möglichen Ergebnisse. Es ist

$P(A)=\frac{|A|}{|\mathrm{\Omega }|}.$

Axiome der Wahrscheinlichkeiten (Kolmogoroff): Vorlage:Latex Index Gegeben sind zwei Ereignisse A,B ⊂ Ω.

1. $P(A)\ge 0.$ Nichtnegativität
2. $P(\mathrm{\Omega })=1.$ Normiertheit
3. $P(A\cup B)=P(A)+P(B),$ falls A und B disjunkt sind.

Vorlage:Latex IndexAdditionssatz

Für zwei Ereignisse A, B aus Ω gilt :

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).$

Für drei Ereignisse A, B, C aus Ω gilt analog :

$\begin{array}{cc}P(A\cup B\cup C)=& P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)\\ & -P(A\cap C)-P(B\cap C)+P(A\cap B\cap C).\end{array}$

Falls die Ereignisse disjunkt sind, gilt

$P(A\cup B)=P(A)+P(B).$

$P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C).$

Bedingte Wahrscheinlichkeit

$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

Unabhängigkeit von Ereignissen

Ein Ereignis A ist unabhängig von B, wenn

$P(A|B)=P(A|\bar{B})=P(A)$

Vorlage:Latex IndexTotale Wahrscheinlichkeit

Sei A₁ ...A_k eine disjunkte Zerlegung von Ω. Dann gilt für B ⊂ Ω:

$P(B)=\sum _{i=1}^{k}P(B|A_i)\cdot P(A_i)$.

Vorlage:Latex IndexBAYES Theorem

Für zwei Ereignisse $A$ und $B$ mit $P(B)>0$ lässt sich die Wahrscheinlichkeit von

$A$ unter der Bedingung, dass $B$ eingetreten ist, angeben durch die Wahrscheinlichkeit von

$B$ unter der Bedingung, dass $A$ eingetreten ist:

$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B)}$.

Hierbei ist

$P(A\mid B)$ die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$ unter der Bedingung, dass $B$ eingetreten ist,

$P(B\mid A)$ die (bedingte) Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $B$ unter der Bedingung, dass $A$ eingetreten ist,

$P(A)$ die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A$ und

$P(B)$ die A-priori-Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $B$.

Endlich viele Ereignisse:

Wenn $A_i,i=1,\dots ,N$ eine Zerlegung der Ergebnismenge in disjunkte Ereignisse ist, gilt für die A-posteriori-Wahrscheinlichkeit $P(A_i\mid B)$

$P(A_i\mid B)=\frac{P(B\mid A_i)\cdot P(A_i)}{P(B)}=\frac{P(B\mid A_i)\cdot P(A_i)}{\sum _{j=1}^{N}P(B\mid A_j)\cdot P(A_j)}$.

Den letzten Umformungsschritt bezeichnet man auch als Marginalisierung.

Da ein Ereignis $A$ und sein Komplement $\bar{A}$ stets eine Zerlegung der Ergebnismenge darstellen, gilt insbesondere

$P(A\mid B)=\frac{P(B\mid A)\cdot P(A)}{P(B\mid A)\cdot P(A)+P(B\mid \bar{A})\cdot P(\bar{A})}$.