Formelsammlung Physik: Optik: Geometrische Optik

Strahlen

1. Divergente Strahlen: Strahlen, die von einem Punkt ausgehen (wie bei der auslaufenden Kugelwelle)
2. Konvergente Strahlen: Strahlen, die in einem Punkt zusammenlaufen (wie bei der einlaufenden Kugelwelle)
3. Parallele Strahlen: alle Strahlen verlaufen parallel zueinander. Dies entspricht der ebenen Welle.
4. Diffuse Strahlen: die einzelnen Strahlen verlaufen wahllos zueinander, Gegensatz zu homozentrischen Strahlen. Sie entstehen z.B. bei der Reflexion paralleler Strahlung an einer rauen Oberfläche.

Brechzahl

$n_{\mathrm{m}}=\frac{c}{c_{\mathrm{m}}}$

$c$: Lichtgeschwindigkeit im Vakuum

$c_{\mathrm{m}}$: Lichtgeschwindigkeit im Medium (für Vakuum und Luft $\approx 3\cdot 10^8\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$)

$n_{\mathrm{m}}$: Brechzahl des Mediums (für Vakuum = 1 und Luft $\approx 1$)

$\frac{c_1}{c_2}=\frac{n_2}{n_1}$

Reflexion an ebenen Flächen

$\alpha ={\alpha }^{\prime }$

$\alpha$: Einfallswinkel, zwischen Strahl und Lot auf die Oberfläche

${\alpha }^{\prime }$: Ausfallswinkel, zwischen Strahl und Lot auf die Oberfläche

Reflexionsgesetz in vektorieller Form

${𝐞}_r-{𝐞}_i=2{𝐞}_A\cos \alpha$

${𝐞}_i$: Einheitsvektor in Richtung der einfallenden Welle

${𝐞}_r$: Einheitsvektor in Richtung der reflektierten Welle

${𝐞}_A$: Normaleneinheitsvektor (Lot) der Oberfläche

Hohlspiegel

Gaußsche Strahlen

Amplitude des Elektrischen Feldes

$E(r,z)=E_0\frac{w_0}{w(z)}{e}^{\frac{-r^2}{w^2(z)}}{e}^{-ik\frac{r^2}{2Rz+i\zeta (z)}}$

Intensität

$I(r,z)=I_0{\left(\frac{w_0}{w(z)}\right)}^2{e}^{\frac{-2r^2}{w^2(z)}}$

Strahlradius

$w(z)=w_0\sqrt{1+{\left(\frac{z}{z_0}\right)}^2}$ mit $z_0=\frac{\pi \cdot w_0^2}{\lambda }$

Konstruktion der Abbildung

1. Parallelstrahlen (Strahlen parallel zur optischen Achse) werden zu Brennpunktstrahlen (führen durch den Brennpunkt).
2. Mittelpunktstrahlen werden nicht abgelenkt.
3. Strahlengänge sind umkehrbar (also werden auch Brennpunktstrahlen zu Parallelstrahlen).

Abbildungsmaßstab

Der Abbildungsmaßstab A ist das Verhältnis von Bildgröße B zu Gegenstandsgröße G.

$A=\frac{B}{G}$

Brechung an ebenen Grenzflächen

Snelliussches Brechungsgesetz

Für die Brechung eines Lichtstrahls beim Übergang Vakuum $\to$ Medium gilt:

$\frac{\sin ({\mathrm{\Theta }}_1)}{\sin ({\mathrm{\Theta }}_2)}=\frac{c_0}{c}=n$

Für den Übergang Medium 1 $\to$ Medium 2 gilt:

$\frac{\sin ({\mathrm{\Theta }}_1)}{\sin ({\mathrm{\Theta }}_2)}=\frac{c_1}{c_2}=\frac{n_2}{n_1}\mathrm{o}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{r}{n}_1\sin ({\mathrm{\Theta }}_1)=n_2\sin ({\mathrm{\Theta }}_2)$

wobei

• ${\mathrm{\Theta }}_1$ Einfallswinkel (zum Lot gemessen)
• ${\mathrm{\Theta }}_2$ Brechungswinkel(oder auch Ausfallswinkel) (zum Lot gemessen)
• $c_0$ Vakuumlichtgeschwindigkeit
• $c_1$ Lichtgeschwindigkeit in Medium 1
• $c_2$ Lichtgeschwindigkeit in Medium 2
• $n$ Brechzahl in Medium
• $c$ Lichtgeschwindigkeit in Medium

Fresnelsche Formeln

Reflektionsgrad senkrecht zur Einfallsebene polarisierter Wellen

$R_{\perp }={\left(\frac{\sin ({\mathrm{\Theta }}_1-{\mathrm{\Theta }}_2)}{\sin ({\mathrm{\Theta }}_1+{\mathrm{\Theta }}_2)}\right)}^2$

wobei

• $R_{\perp }$ Reflektionsgrad einer senkrecht zur Einfallsebene polarisierten Welle
• ${\mathrm{\Theta }}_1$ Einfallswinkel (zum Lot gemessen)
• ${\mathrm{\Theta }}_2$ Brechungswinkel(oder auch Ausfallswinkel) (zum Lot gemessen)

Reflektionsgrad parallel zur Einfallsebene polarisierter Wellen

$R_{||}={\left(\frac{\tan ({\mathrm{\Theta }}_1-{\mathrm{\Theta }}_2)}{\tan ({\mathrm{\Theta }}_1+{\mathrm{\Theta }}_2)}\right)}^2$

wobei

• $R_{||}$ Reflektionsgrad einer parallel zur Einfallsebene polarisierten Welle
• ${\mathrm{\Theta }}_1$ Einfallswinkel (zum Lot gemessen)
• ${\mathrm{\Theta }}_2$ Brechungswinkel(oder auch Ausfallswinkel) (zum Lot gemessen)

Reflektionsgrad bei senkrecht zur Grenzfläche einfallendem Licht

$R={\left(\frac{n_1-n_2}{n_1+n_2}\right)}^2$

• $R$ Reflektionsgrad einer senkrecht zur Grenzfläche einfallenden Welle
• $n_1$ Brechzahl in Medium 1
• $n_2$ Brechzahl in Medium 2

Totalreflexion

${\theta }_{\mathrm{c}}=\arcsin \left(\frac{n_2}{n_1}\right)\text{mit}{n}_1>n_2$

wobei

• ${\theta }_{\mathrm{c}}$ Grenzwinkel der Totalreflexion

Brewster-Winkel

${\theta }_{\mathrm{B}}=\arctan \left(\frac{n_2}{n_1}\right)$

wobei

• ${\theta }_{\mathrm{B}}$ Brewster Winkel

Linsen

Brechwert

$D=\frac{1}{f}$

wobei:

• $f$ Brennweite

Dünne Linse

Erzeugen eines reellen Bildes mit einer Sammellinse

Brennweite :

$\frac{1}{f}=(\frac{n}{n_{\mathrm{0}}}-1)(\frac{1}{r_{\mathrm{1}}}-\frac{1}{r_{\mathrm{2}}})$

wobei

• $f$ Brennweite
• $n$ Brechzahl des Linsenmaterials
• $n_{\mathrm{0}}$ Brechzahl des umgebenden Mediums (bei Luft $\approx$ 1)
• $r_1$ Krümmungsradius der linken Linsenfläche (positiv bei konvexer Linsenfläche)
• $r_2$ Krümmungsradius der rechten Linsenfläche (positiv bei konvexer Linsenfläche)

Linsengleichung:

$\frac{1}{f}=\frac{1}{g}+\frac{1}{b}$

wobei

• $f$ Brennweite
• $g$ Gegenstandsweite (Abstand von der Linse zum abzubildenden Gegenstand)
• $b$ Bildweite (Abstand von der Linse zum Bild des abgebildeten Gegenstandes)

Abbildungsmaßstab:

$A=\frac{B}{G}=\frac{b}{g}$

$A=\frac{b-f}{f}=\frac{f}{g-f}$

Linsenschleiferformel

$\frac{1}{f}=\left(\frac{n-n_0}{n_0}\right)(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}+\frac{(n-n_0)d}{n{R}_1{R}_2})$

• $R_1,R_2$ die Kugelradien,
• $d$ die Dicke der Linse (gemessen in Höhe der optischen Achse),
• $n_0$ die Brechzahl des Mediums außerhalb der Linse,
• $n$ die Brechzahl des Linsenmaterials,
• $f$ die Brennweite der Linse

Optische Instrumente

Lochkamera

Unschärfefleck

$S=\frac{D(b+g)}{g}$

wobei

• $D$ Durchmesser des Lochs
• $S$ Durchmesser des Unschärfeflecks
• $b$ Bildweite
• $g$ Gegenstandsweite

Lupe

Vergrößerung

$V=\frac{\tan ϵ}{\tan {ϵ}_0}=\frac{\frac{O}{f}}{\frac{O}{s_0}}=\frac{s_0}{f}=\frac{25\mathrm{c}\mathrm{m}}{f}$

wobei

• $V$ Winkelvergrößerung
• ${ϵ}_0$ Sehwinkel ohne Lupe
• $ϵ$ Sehwinkel mit Lupe
• $s_0$ deutliche Sehweite
• $O$ Größe des Objekts
• $f$ Brennweite

Galilei-Fernrohr

$V=\frac{f_{\mathrm{o}\mathrm{b}}}{f_{\mathrm{o}\mathrm{k}}}$

Kepler-Fernrohr

Vergrößerung

$V=\frac{f_{\mathrm{o}\mathrm{b}}}{f_{\mathrm{o}\mathrm{k}}}$

Mikroskop

Vergrößerung

$V=\frac{(d-f_{\mathrm{o}\mathrm{b}})s_0}{f_{\mathrm{o}\mathrm{b}}{f}_{\mathrm{o}\mathrm{k}}}$

wobei

• $V$ Vergrößerung
• $d$ Abstand vom Objektiv zur Brennebene des Okulars
• $f_{\mathrm{o}\mathrm{b}}$ Brennweite des Objektivs
• $f_{\mathrm{o}\mathrm{k}}$ Brennweite des Okulars
• $s_0$ deutliche Sehweite, normal 25 cm