Formelsammlung Physik: Elektrodynamik

Formelsammlung Physik: TOPNAV

Maxwell-Gleichungen

Im SI-System gilt:

Ampèresches Gesetz	$\mathrm{\nabla }\times 𝐇=\frac{\partial 𝐃}{\partial t}+𝐣$
Induktionsgesetz Faradaysches Gesetz	$\mathrm{\nabla }\times 𝐄=-\frac{\partial 𝐁}{\partial t}$
Coulombsches Gesetz	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐃=\rho$
Gaußsches Gesetz des Magnetismus	$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐁=0$
Elektrische Flussdichte	$𝐃={\epsilon }_0𝐄+𝐏$
Magnetische Flussdichte	$𝐁={\mu }_0(𝐇+𝐌)$

Wobei $𝐇$ die magnetische Feldstärke, $𝐁$ die magnetische Flussdichte, $𝐄$ das elektrische Feld, $𝐃$ die elektrische Flussdichte,$𝐏$ die Polarisation, $𝐌$ die Magnetisierung, $𝐣$ die Stromdichte und $\rho$ die Ladungsdichte ist

Kontinuitätsgleichung

Für den stationären Fall gilt:

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐣=-\frac{\partial \rho }{\partial t}$

Ohmsches Gesetz

Für isotrope Medien mit der Leitfähigkeit $\sigma$ gilt:

$𝐣=\sigma 𝐄$

Potentiale

$𝐀$ ist das Vektorpotential, mit dem man das $𝐁$-Feld berechnen kann.

$𝐁=\mathrm{\nabla }\times 𝐀$

$𝐀=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{𝐣({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime }$

Mithilfe des skalaren Potentials $\mathrm{\Phi }$, kann man auch das $𝐄$-Feld berechnen.

$𝐄=-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Phi }-\frac{\partial 𝐀}{\partial t}$

$\mathrm{\Phi }=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int \frac{\rho ({𝐫}^{\prime })}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime }$

Induktion

Lorentz-Kraft

$𝐅=q(𝐄+𝐯\times 𝐁)$

unter Vernachlässigung des E-Feldes folgt

$𝐅=\int d𝐫\rho 𝐯\times 𝐁=\int d𝐫𝐣\times 𝐁$

Gegeninduktivität

$L_{jm}=\frac{{\mu }_r{\mu }_0}{4\pi }{\oint }_C{\oint }_D\frac{d𝐫\cdot d{𝐫}^{\prime }}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}=L_{mj}$ wobei C und D geschlossene Leiterwege um die Leiterkreise j und m sind

Elektromagnetische Wellen

Um die inhomogene Wellengleichung zu lösen, benutzt man retardierende Potentiale. Man erhält dann folgendes: $𝐀=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\int \frac{𝐣({𝐫}^{\prime },t-\frac{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{c})}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime }$

$\mathrm{\Phi }=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\int \frac{\mathit{\rho }({𝐫}^{\prime },t-\frac{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{c})}{|𝐫-{𝐫}^{\prime }|}{d}^3{r}^{\prime }$

Poynting-Vektor

$𝐒=𝐄\times 𝐇$

Poynting-Theorem

$-𝐣\cdot 𝐄=\frac{\partial w}{\partial t}+\mathrm{\nabla }\cdot 𝐒$

Energiedichte des elektromagnetischen Feldes

$w=\frac{1}{2}(𝐇\cdot 𝐁+𝐄\cdot 𝐃)$

Eichungen

Lorenz-Eichung

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀+\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial t}=0$

$◻𝐀=-{\mu }_0𝐣$

$◻\mathrm{\Phi }=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

Coulomb-Eichung

$\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀=0$

$◻𝐀=-{\mu }_0𝐣-\frac{1}{c}\frac{\partial 𝐄}{\partial t}$

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=-\frac{\rho }{{\epsilon }_0}$

wobei $◻$ der d'Alembertoperator ist.