Formelsammlung Mathematik: Zahlenbereiche und Rechenoperationen

Zahlenbereiche

Übersicht

Es ist $\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset ℝ\subset ℂ\subset ℍ\subset 𝕆\subset 𝕊.$ Dabei sind $\mathbb{N}$ die natürlichen, $\mathbb{Z}$ die ganzen, $\mathbb{Q}$ die rationalen, $ℝ$ die reellen, und $ℂ$ die komplexen Zahlen. $ℍ$ sind die Quaternionen $𝕆$ die Oktonionen und $𝕊$ die Sedenionen.

$ℂ$ enthält die (rein) imaginären Zahlen als echte Teilmenge. $\mathbb{N}$ beginnt je nach Festlegung bei 0 oder 1. Zur Verdeutlichung kann man ${\mathbb{N}}_0$ bzw. ${\mathbb{N}}_1$ schreiben.

Rationale Zahlen

Jede rationale Zahl $r$ lässt sich als gemeiner Bruch (Quotient zweier ganzer Zahlen) schreiben: $r=\frac{a}{b}.$ $a$ heißt Zähler, $b$ Nenner.

$r$ heißt	echt (eigentlich)	für $0<|a|<|b|,0<|r|<1$
	unecht (uneigentlich)	für $0<|b|<|a|,1<|r|$
	reduziert	für $\mathrm{ggT}(a,b)=1$
	Stammbruch	für $|a|=1$
	Zweigbruch	für $|a|\ne 1$

Rechenoperationen erster bis dritter Stufe

Übersicht

Rechenart		Gerade oder direkte		Umgekehrte oder indirekte
Grundrechenarten	1.Stufe	Addition (addieren; zusammenzählen)		Subtraktion (subtrahieren; abziehen)
		$7+9=16$	$a+b=c$	$16-9=7$ $16-7=9$	$c-b=a$ $c-a=b$
		Summand plus Summand gleich Summe		Minuend minus Subtrahend gleich Differenz
	2.Stufe	Multiplikation (multiplizieren; malnehmen)		Division (dividieren; teilen)
		$3+3+3+3=3\cdot 4=12$	$\underbrace{a+a+a+...}$ b gleiche Summanden $=a\cdot b=c$	$12:4=3$	$c:b=a$
		1.Faktor mal 2.Faktor gleich Produkt		Dividend durch Divisor gleich Quotient
.	3.Stufe	Potenzieren		Radizieren (Wurzelziehen)
		$3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=3^4=81$	$\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot ...}$ b gleiche Faktoren $=a^b=c$	$\sqrt[4]{81}=3$	$\sqrt[b]{c}=a$
		Basis a hoch Exponent b gleich Potenzwert c		b-te Wurzel aus dem Radikanden c gleich Wurzelwert a (b: Wurzelexponent)
				Logarithmieren
				${\log }_{3}81=4$	${\log }_{a}c=b$
				Logarithmus vom Logarithmanden c zur Basis a gleich Logarithmuswert b

---

Die vier Grundrechenarten mit natürlichen Zahlen

Addition

Addieren oder Zusammenzählen

Summand* + Summand* = Summe
     3  +  4      =   7

*Früher wurde für den ersten Summanden auch der Begriff Augend und für die anderen Summanden auch der Begriff Addend verwendet.

Satz: Die Summanden dürfen beliebig vertauscht werden -> Kommutativgesetz

---

Subtraktion

Subtrahieren oder Abziehen

Minuend - Subtrahend = Differenz
    8   -    2       =   6

---

Multiplikation

Faktor* x Faktor* = Produkt
  8    x   8    =  64

* Früher wurde für den ersten Faktor auch der Begriff Multiplikator und für die anderen Faktoren auch der Begriff Multiplikand verwendet.

Satz: Die Faktoren dürfen beliebig vertauscht werden -> Kommutativgesetz

Division

Dividieren, Teilen oder Bruchrechnen

$\frac{\text{Zähler}}{\text{Nenner}}$ oder $\frac{\text{Dividend}}{\text{Divisor}}=\text{Quotient}$

Beispiel: $\frac{8}{2}=4$

Dezimalbruch

$0,25$

Gemischter Bruch

$2\frac{5}{8}=2+\frac{5}{8}$
ganze Zahl und ein Bruch

Gleichnamige Brüche

$\frac{5}{8},\frac{3}{8},\frac{1}{8}$
alle Nenner sind gleichnamig

Ungleichnamige Brüche

$\frac{5}{8},\frac{3}{2},\frac{1}{9}$
alle Nenner sind ungleichnamig

Addieren und Subtrahieren gleichnamiger Brüche

$\frac{5}{8}+\frac{3}{8}-\frac{1}{8}=\frac{5+3-1}{8}=\frac{7}{8}$
Die Zähler werden addiert oder subtrahiert und == der Nenner wird beibehalten. ==

Addieren und Subtrahieren ungleichnamiger Brüche

$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{3}{12}+\frac{6}{12}-\frac{4}{12}=\frac{5}{12}$
Die Nenner werden auf ein gemeinsames Vielfaches gebracht und somit zu gleichnamigen Brüchen

Multiplizieren von Brüchen

$\frac{5}{8}\cdot \frac{3}{2}=\frac{5\cdot 3}{8\cdot 2}=\frac{15}{16}$
Zähler werden mit Zähler multipliziert, Nenner mit Nenner.

Dividieren von Brüchen

$\frac{5}{8}:\frac{2}{3}=\frac{5\cdot 3}{8\cdot 2}=\frac{15}{16}$
Dividend multipliziert mit Kehrwert des Divisors

Vorrangregeln

Folgende Vorrangregeln sind in der Mathematik üblich. Die Assoziativität ist nur bei Verletzung des Assoziativgesetzes von Bedeutung. Im Zweifelsfall können Klammern gesetzt werden.

Operationen	Bedeutung	Assoziativität
$a_i$	Indizierung	rechts
$f(x)$	Funktionsapplikation	links
$a^b$	Potenzierung	rechts
$-a$	Negation	rechts
$ab,a/b,$ $M\cap N$	Multiplikation, Division, Schnitt	links
$a+b,a-b,$ $M\cup N$	Addition, Subtraktion, Vereinigung	links
$a=b,a\ne b,$ $a<b,a\le b,$ $M\subseteq N,$ $a\in M$	Gleichheitsrelationen, Ordnungsrelationen, Teilmengenrelation, Elementrelation,	keine
$\mathrm{\neg }A$	logische Negation	rechts
$A\wedge B$	Konjunktion	links
$A\vee B,A\oplus B$	Disjunktion, Kontravalenz	links
$A\Rightarrow B,A\to B$	Implikation	keine
$A\iff B,A\equiv B$	Äquivalenz	keine
$A⊢B,A\models B$	syntaktische und semantische Implikation	keine
$A\text{impliziert}B$	metasprachliche Implikation	keine
$A\text{gdw.}B$	metasprachliche Äquivalenz	keine