Formelsammlung Mathematik: Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Diskrete Verteilungen

Name	Zähldichte	Erwartungswert	Varianz
Binomial-Verteilung	$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\cdot p^k\cdot (1-p{)}^{n-k}$	$n\cdot p$	$n\cdot p\cdot (1-p)$
Geometrische Verteilung	$P(X=k)=p\cdot (1-p{)}^{k-1}$	$\frac{1}{p}$	$\frac{1-p}{p^2}$
Hypergeometrische Verteilung	$P(X=k)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{M}{k})\cdot (\genfrac{}{}{0ex}{}{N-M}{n-k})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})}$	$n\cdot \frac{M}{N}$	$n\cdot \frac{M}{N}\cdot (1-\frac{M}{N})\cdot \frac{N-n}{N-1}$
Negative Binomial-Verteilung	$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k-1}{r-1})\cdot p^r\cdot (1-p{)}^{k-r}$	$\frac{r}{p}$	$\frac{r\cdot (1-p)}{p^2}$
Poisson-Verteilung	$P(X=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}\cdot e^{-\lambda }$	$\lambda$	$\lambda$

Stetige Verteilungen

Name	Dichte	Erwartungswert	Varianz
Erlang-Verteilung	$f(x)=\frac{{\lambda }^n\cdot x^{n-1}}{(n-1)!}\cdot e^{-\lambda \cdot x},x\ge 0$	$\frac{n}{\lambda }$	${\frac{n}{\lambda }}^2$
Exponential-Verteilung: $ℰ(\lambda )$	$f(x)=\lambda \cdot e^{-\lambda \cdot x},x\ge 0$	$\frac{1}{\lambda }$	$\frac{1}{{\lambda }^2}$
Gamma-Verteilung: $\mathrm{\Gamma }(\alpha ,\beta )$	$f(x)=\frac{{\beta }^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\cdot x^{\alpha -1}\cdot e^{-\beta \cdot x},x>0$	$\frac{\alpha }{\beta }$	$\frac{\alpha }{{\beta }^2}$
Gleichverteilung: $𝒰(a,b)$	$f(x)=\frac{1}{b-a},x\in [a,b]$	$\frac{a+b}{2}$	$\frac{1}{12}\cdot (b-a{)}^2$
Normal-Verteilung: $𝒩(\mu ,{\sigma }^2)$	$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}}\cdot e^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2\cdot {\sigma }^2}}$	$\mu$	${\sigma }^2$
Lognormal-Verteilung: $ℒ𝒩(\mu ,{\sigma }^2)$	$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi {\sigma }^2}\cdot x}\cdot e^{-\frac{(\ln (x)-\mu {)}^2}{2\cdot {\sigma }^2}}$	$e^{\mu +\frac{{\sigma }^2}{2}}$	$e^{2\mu +{\sigma }^2}\cdot (e^{{\sigma }^2}-1)$