Formelsammlung Mathematik: Ungleichungen

Bernoullische Ungleichung

$(1+x{)}^n\ge 1+nxn\in \mathbb{N},x\ge -1$

Dreiecksungleichung

$|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|z_1,z_2\in ℂ$

Verallgemeinerte Dreiecksungleichung

$\left|\sum _{k=1}^n{z}_k\right|\le \sum _{k=1}^n|z_k|z_1,...,z_n\in ℂ$

Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung

Sind $𝒙=(x_1,...,x_n)$ und $𝒚=(y_1,...,y_n)$ reelle Vektoren, so gilt

${\left(\sum _{k=1}^n{x}_k{y}_k\right)}^2\le \left(\sum _{k=1}^n{x}_k^2\right)\left(\sum _{k=1}^n{y}_k^2\right).$ Kurz: $|⟨𝒙,𝒚⟩|\le \Vert 𝒙\Vert \cdot \Vert 𝒚\Vert$

Ungleichungen zwischen Mittelwerten

Für $x_1,...,x_n>0$, ein Gewicht $w=(w_1,...,w_n)$ mit $\sum _{k=1}^n{w}_k=1$

und ein $p\in ℝ\setminus \{0\}$ sei $M_w^p:={\left(\sum _{k=1}^n{w}_k{x}_k^p\right)}^{\frac{1}{p}}$ das gewichtete Hölder-Mittel.

Es gilt $M_w^0:=\underset{p\to 0}{\lim }{M}_w^p=\prod _{k=1}^n{x}_k^{w_k}$ und für $r<s$ ist $M_w^r\le M_w^s$.

Insbesondere ergibt sich daraus die Ungleichungskette

$\underset{\begin{array}{c}\text{harmonisches}\\ \text{Mittel}\end{array}}{\underbrace{\frac{1}{\frac{w_1}{x_1}+...+\frac{w_n}{x_n}}}}\le \underset{\begin{array}{c}\text{geometrisches}\\ \text{Mittel}\end{array}}{\underbrace{x_1^{w_1}\cdots x_n^{w_n}}}\le \underset{\begin{array}{c}\text{arithmetisches}\\ \text{Mittel}\end{array}}{\underbrace{w_1{x}_1+...+w_n{x}_n}}\le \underset{\begin{array}{c}\text{quadratisches}\\ \text{Mittel}\end{array}}{\underbrace{\sqrt{w_1{x}_1^2+...+w_n{x}_n^2}}}\le \underset{\begin{array}{c}\text{kubisches}\\ \text{Mittel}\end{array}}{\underbrace{\sqrt[3]{w_1{x}_1^3+...+w_n{x}_n^3}}}$.

Und daraus wiederum ergibt sich im ungewichteten/gleichgewichteten Fall $w=(1/n,...,1/n)$ die Ungleichungskette

$\underset{\begin{array}{c}\text{harmonisches}\\ \text{Mittel}\end{array}}{\underbrace{\frac{n}{\frac{1}{x_1}+...+\frac{1}{x_n}}}}\le \underset{\begin{array}{c}\text{geometrisches}\\ \text{Mittel}\end{array}}{\underbrace{\sqrt[n]{x_1\cdots x_n}}}\le \underset{\begin{array}{c}\text{arithmetisches}\\ \text{Mittel}\end{array}}{\underbrace{\frac{x_1+...+x_n}{n}}}\le \underset{\begin{array}{c}\text{quadratisches}\\ \text{Mittel}\end{array}}{\underbrace{\sqrt{\frac{x_1^2+...+x_n^2}{n}}}}\le \underset{\begin{array}{c}\text{kubisches}\\ \text{Mittel}\end{array}}{\underbrace{\sqrt[3]{\frac{x_1^3+...+x_n^3}{n}}}}$.

MacLaurinsche Ungleichung

Für die nichtnegativen Variablen $a_1,...,a_n$

sei ${\sigma }_k(𝒂)=\sum _{1\le i_1<...<i_k\le n}{a}_{i_1}\cdots a_{i_k}$ das k-te elementarsymmetrische Polynom

und $S_k(𝒂)=\frac{{\sigma }_k(𝒂)}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$ der zugehörige elementarsymmetrische Mittelwert.

Es gilt $S_1(𝒂)\ge \sqrt{S_2(𝒂)}\ge \sqrt[3]{S_3(𝒂)}\ge ...\ge \sqrt[n]{S_n(𝒂)}$.

Und es gilt $S_m(𝒂{)}^2\ge S_{m+1}(𝒂)\cdot S_{m-1}(𝒂)$ für $m=1,...,n-1$

Muirhead-Ungleichung

Für $n$-elementige Vektoren $\mathit{\nu }\ge 0,𝒙>0$ sei $𝒮\{\mathit{\nu }\}(𝒙):=\frac{1}{n!}\sum _{\text{sym}}{x}_1^{{\nu }_1}\cdots x_n^{{\nu }_n}:=\frac{1}{n!}\sum _{\mathit{\sigma }\in S_n}{x}_{{\sigma }_1}^{{\nu }_1}\cdots x_{{\sigma }_n}^{{\nu }_n}$.

Sind $\mathit{\alpha },\mathit{\beta }\ge 0$, so gilt folgende Äquivalenz: $\mathit{\alpha }\prec \mathit{\beta }⟺𝒮\{\mathit{\alpha }\}(𝒙)\le 𝒮\{\mathit{\beta }\}(𝒙)\mathrm{\forall }𝒙>0$

Logarithmischer Mittelwert

$\sqrt[3]{xyz}\le \sqrt{\frac{1}{2}\frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{(x-y)\log z+(y-z)\log x+(z-x)\log y}}\le \frac{x+y+z}{3}x>y>z>0$

Abschätzung zur eulerschen Zahl

${(1+\frac{1}{n})}^n<e<{(1+\frac{1}{n})}^{n+\frac{1}{2}}$

Blender3D: Vorlage:Klappbox Monotoniebetrachtung:

Die Folge ${(1+\frac{1}{n})}^n$ steigt streng monoton und die Folge ${(1+\frac{1}{n})}^{n+1}$ fällt streng monoton.

[Potenzen, eulersche Zahl]

$(e+x{)}^{e-x}>(e-x{)}^{e+x}0<x<e$

Napiersche-Ungleichung

$\frac{1}{a}<\frac{2}{a+b}<\frac{\log (a)-\log (b)}{a-b}<\frac{1}{\sqrt{ab}}<\frac{1}{b}a>b>0$

Nesbitt-Ungleichung

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge \frac{3}{2}a,b,c>0$

Mahler-Ungleichung

Sind $𝒙=(x_1,...,x_n),𝒚=(y_1,...,y_n)$ Tupel positiver Zahlen, so gilt $\prod _{k=1}^n(x_k+y_k{)}^{1/n}\ge \prod _{k=1}^n{x}_k^{1/n}+\prod _{k=1}^n{y}_k^{1/n}$.

Tschebyscheff-Summen-Ungleichung

Sind $a_1,...,a_n$ und $b_1,...,b_n$ gleichsinnig geordnete reelle Zahlen, so gilt

$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\ge \left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k\right)\left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{b}_k\right)$

Tschebyscheff-Integral-Ungleichung

Sind $f,g:[0,1]\to ℝ$ gleichsinnig monoton, dann gilt $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)g(x)dx\ge \underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx\underset{0}{\overset{1}{\int }}g(x)dx$.

Anderson-Ungleichung

Sind $f_1,...,f_n:[0,1]\to ℝ$ nichtnegative konvexe Funktionen mit $f_1(0)=...=f_n(0)=0$, so gilt

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\prod _{k=1}^n{f}_k(x)dx\ge \frac{2^n}{n+1}\prod _{k=1}^n\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}_k(x)dx$.

Abschätzung zu log(1+x), cos(x), sin(x)

$\mathrm{\forall }x\ge 0$ ist $\sum _{k=0}^n[\frac{x^{k+1}}{k+1},\frac{x^{2k}}{(2k)!},\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}]$$\left\{\begin{array}{ccc}>& ,& n=2m\\ <& ,& n=2m+1\end{array}\right\}[\log (1+x),\cos (x),\sin (x)]$

[Mit der Stirling-Formel verwandte Formel]

$(n-1)!<\frac{n^n}{e^n}e<n!n\in {\mathbb{Z}}^{>1}$

[Ungleichungen mit der Gammafunktion]

$\mathrm{\Gamma }(x\alpha +(1-x)\beta )\le \mathrm{\Gamma }(\alpha {)}^x\mathrm{\Gamma }(\beta {)}^{1-x}\alpha ,\beta >00\le x\le 1$

$n!(n+x{)}^{x-1}\le \mathrm{\Gamma }(n+x)\le \mathrm{\Gamma }(n)n^{x}0\le x\le 11\le n$

Gautschis Ungleichung

$x^{1-s}<\frac{\mathrm{\Gamma }(x+1)}{\mathrm{\Gamma }(x+s)}<(x+1{)}^{1-s}0<s<1$

Carlson-Ungleichung

Ist $a_1,a_2,a_3,...$ eine Folge nichtnegativer Zahlen, wobei nicht alle Folgeglieder verschwinden, so gilt ${\left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k\right)}^4<{\pi }^2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k^2\cdot \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{k}^2{a}_k^2$

Hilbertsche Ungleichung

Sind $(a_n),(b_m)$ zwei nichtnegative Zahlenfolgen, bei denen nicht alle Folgeglieder verschwinden und sind $p,q$ zwei Zahlen,

so dass $1<p,q<\mathrm{\infty }$ und $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ ist, dann gilt $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n{b}_m}{n+m}<\frac{\pi }{\sin \frac{\pi }{p}}\cdot {\left(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n^p\right)}^{\frac{1}{p}}\cdot {\left(\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_m^q\right)}^{\frac{1}{q}}$.

Hilbertsche Ungleichung für Integrale

Sind $f,g:{ℝ}_{\ge 0}\to {ℝ}_{\ge 0}$ zwei stetige Funktionen ungleich der Nullfunktion, so gilt

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(x)g(y)}{x+y}dxdy<\frac{\pi }{\sin \frac{\pi }{p}}\cdot {(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[f(x){]}^{p}dx)}^{\frac{1}{p}}\cdot {(\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[g(y){]}^{q}dy)}^{\frac{1}{q}}$.

Hardy-Ungleichung für Integrale

Ist $f:{ℝ}_{\ge 0}\to {ℝ}_{\ge 0}$ eine integrierbare Funktion und ist $p>1$, so gilt

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{(\frac{1}{x}\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt)}^{p}dx\le {\left(\frac{p}{p-1}\right)}^p\cdot \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}[f(x){]}^{p}dx$

Hardy-Ungleichung für Reihen

Ist $(a_n)$ eine Folge nichtnegativer reeller Zahlen und ist $p>1$, so gilt

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k\right)}^p\le {\left(\frac{p}{p-1}\right)}^p\cdot \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k^p$

Gibbssche Ungleichung

Sind $𝒑=(p_1,...,p_n)$ und $𝒒=(q_1,...,q_n)$ diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

mit $p_1\ge ...\ge p_n>0,q_1\ge ...\ge q_n>0$ und $\sum _{k=1}^n{p}_k=\sum _{k=1}^n{q}_k=1$, so gilt

$-\sum _{k=1}^n{p}_k\log (p_k)\le -\sum _{k=1}^n{p}_k\log (q_k)$, wobei Gleichheit nur im Fall $𝒑=𝒒$ auftritt.

Diskrete jensensche Ungleichung

Ist $f:[a,b]\to ℝ$ konvex und sind ${\lambda }_1,...,{\lambda }_n$ nichtnegative Zahlen mit $\sum _{k=1}^n{\lambda }_k=1$,

dann gilt für beliebige $x_1,...,x_n\in [a,b]$ die Ungleichung $f\left(\sum _{k=1}^n{\lambda }_k{x}_k\right)\le \sum _{k=1}^n{\lambda }_{k}f(x_k)$.

Jensensche Ungleichung für Integrale

Ist $g:[a,b]\to ℝ$ eine integrierbare Funktion, so dass $f$ im Bild von $g$ konvex ist,

dann gilt $f(\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}g(x)dx)\le \frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(g(x))dx$

Hlawka-Ungleichung

$\Vert 𝐱+𝐲\Vert +\Vert 𝐲+𝐳\Vert +\Vert 𝐳+𝐱\Vert \le \Vert 𝐱\Vert +\Vert 𝐲\Vert +\Vert 𝐳\Vert +\Vert 𝐱+𝐲+𝐳\Vert 𝐱,𝐲,𝐳\in {ℂ}^n$