Formelsammlung Mathematik: Unendliche Reihen: Lambertreihen

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1

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{1-x^n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\tau (n)x^n$

2

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{n}^a\frac{x^n}{1-x^n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_a(n)x^n$

3

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mu (n)\frac{x^n}{1-x^n}=x$

4

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\phi (n)\frac{x^n}{1-x^n}=\frac{x}{(1-x{)}^2}$

5

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\lambda (n)\frac{x^n}{1-x^n}=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}^{n^2}$

6

$1+4\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\chi (n)\frac{x^n}{1-x^n}={\left(\sum _{n\in \mathbb{Z}}{x}^{n^2}\right)}^2$ mit $\chi (n)=\{\begin{array}{ccc}0& \text{falls}& n\text{gerade}\\ 1& \text{falls}& n\equiv 1\text{mod}4\\ -1& \text{falls}& n\equiv 3\text{mod}4\end{array}$

7

$1+8\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n{x}^n}{1+(-x{)}^n}={\left(\sum _{n\in \mathbb{Z}}{x}^{n^2}\right)}^4$

8

$1+16\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{n^3{x}^n}{1-(-x{)}^n}={\left(\sum _{n\in \mathbb{Z}}{x}^{n^2}\right)}^8$